गणितीय विधि (Mathematical method) का उपयोग कर एकसमान त्वरण के लिए शुद्ध गतिक समीकरण प्राप्त कीजिए।

Explanation

हल- गणितीय विधि (Mathematical Method)-
माना एक कण समान त्वरण से एक विमीय गति कर रहा है समय `t_1` पर कण का वेग `v_1` और स्थिति तथा समय `x_1` पर कण का वेग `V_2` और स्थिति `x_2` है। त्वरण की परिभाषा से
` because " " a = (v_2 -v_1)/(t_2 -t_1)`
`rArr " " v_2 - v_1 = a( t_2 - t_1)`
`rArr " " v_2 = v_1 +a (t_2 -t_1)` ........ (1)
यदि `t_1 =0` पर `v_1 =u` तथा `t_2 =t` पर `v_2 = v` हो तो
`v=u +at` .............. (2) ,
यह समान तवृति गति की प्रथम समीकरण है | औसत वेग का परिमाण
`V_(av) = (V_1 + V_2)/(2)`
`therefore` समीकरण (1) से
`v_(av) = (V_1 + V_1 + a(t_2 - t_1))/(2)`
`v_(av) = (2V_1 +a(t_2 -t_1))/(2)`
`v_(av) = (2v_1 +a(t_2-t_1))/(2)`
`v_(av) = v_1 + 1/2 a (t_2 -t_1)` ..........(3)
परन्तु `V_(av) = (x_2 -x_1)/(t_2 -t_1)`
`therefore " " (x_2 -x-1)/(t_2 -t_1) = v_1 + 1/2 a(t_2- t_1)`
`rArr " " x_2 -x_1 = v_1 (t_2 -t_1) + 1/2 a(t_2 - t_1)^2`
`rArr x_2 = x_1 + v_1 (t_2 - t_1) + l/2 a(t_2 = t_1)^2` ......... (4)
यदि `t_1 =0` पर `v_1 = u, x_1 = x_0` तथा `t_2 =t` पर `x_2 = x` हो तो
`x = x_0 + ut + 1/2 at^2` ........ (5)
`s = ut + 1/2 at^2` .... (6)
यह समान त्वरित गति की दुरी समीकरण है |
v= u +at ( वर्ग करने पर )
`rArr v^2 = u^2 a^2t^2 + 2 uat `
`v^2 = u^2 +a^2 t^2 +2 uat `
`v^2 = u^2 +2a(ut + 1/2 at^2)`
परन्तु `s =ut + 1/2 at^2`
जिससे `v^2 = u^2 + 2 as `
यह समान त्वरित गति का तृतीय समीकरण है