दो चक्रिकाएँ जिनके अपने-अपने अक्षों (चक्रिका के अभिलंबवत् तथा चक्रिका के केंद्र से गुजरने वाले) के परितः जड़त्व आघूर्ण `I_1`तथा `I_2` हैं और जो तथा 0 कोणीय चालों से घूर्णन कर रही हैं, को उनके घूर्णन अक्ष संपाती करके आमने-सामने लाया जाता है। (a) इस दो चक्रिका निकाय की कोणीय चाल क्या है? (b) यह दर्शाइए कि इस संयोजित निकाय की गतिज ऊर्जा दोनों हा चक्रिकाओं की आरंभिक गतिज ऊर्जा के योग से कम है। ऊर्जा में हुई इस हानि की आप कैसे व्याख्या करेंगे? `omega_1 ne omega_2` लीजिए।

Explanation

(a) माना कि दो चकतियों के संयुक्त निकाय की कोणीय चाल `omega` है। तब कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से
`(I_1 +I_2 ) omega =I_1 omega_1 +I_2 omega_2`
` implies Omega = (I_1 omega_1 +I_2 omega _2)/(I_1 +I_2)`
(b) चकतियों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा
`E_i =1/2 I_1 omega_(1)^(2) +1/2 I_2 omega_(2)^(2)`
तथा संयुक्त निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा
`E_f = 1/2 (I_1 +I_2) omega^2 `
`=1/2 (I_1 +I_2 ) ((I_1omega_1 +I_2 omega_2)/(I_1+I_2))^2`
`= 1/2 ((I_1 omega _1 +I_2omega _2)^2)/(I_1 +I_2)`
गतिज ऊर्जा में हानि `=E_i -E_f`
`=1/2 (I_1omega _(1)^(2) +I_(2)omega _(2)^(2))- (1)/( 2 (I_1 +I_2)) (I_1 omega _1 +I_2 omega_2 )^2 `
`=(1)/(2 (I_1 +I_2))[ (I_(1)^(2) omega_(1)^(2) +I_1 I_2 omega _(2)^(2) +I_1 omega_(1)^(2) +I_(2)^(2) omega_(2)^(2))`
`-(I_(1)^(2) omega_(1)^(2) omega_(2)^(2) +2I_1 I_2 omega _1 omega_2 )]`
`=(1)/(2(I_1+I_2 )) [I_1 I_2 omega_(2)^(2) +I_1 I_2 omega_(2)^(2)+I_1 I_2 omega- 2I_1 I_2 omega_1 omega_2]`
`= (I_1 I_2 )/(2(I_1+I_2)) (omega_(1)^(2) + omega_(2)^(2) - 2 omega_1 omega_2) =(I_1 I_2)/(2 (I_1 +I_2))( omega _1 - omega_2 )^2 `
जो dhnatmak राशि है अर्थात `E_i - E_f gt 0`
` implies E_i gt E_F `
इस प्रकार संयुक्त निकाय की गतिज ऊर्जा दोनों चकतियों के प्रारंभिक गतिज ऊर्जाओं के योग से कम है अर्थात् गतिज ऊर्जा की हानि होती है। इसका कारण है कि चकतियों की सतहों के मध्य घर्षण बल होता है जिसके विरूद्ध किया गया कार्य, ऊष्मा में परिणित हो जाता है।