ऊर्जा क्वान्तमीकरण के लिए बोर का सूत्र प्रयुक्त करते हुए निकाले :
(a) हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम की लाइमैन श्रेणी में अधिकतम तरंगदैर्ध्य,
(b) `He^(+)`, परमाणु के n = 3 स्तर की उत्तेजन ऊर्जा और
(c ) `Li^(++)` परमाणु की निम्नतम अवस्था का आयनन विभव।

Explanation

हम जानते है कि
`(1)/(lambda)=R((1)/(n_(f)^(2))-(1)/(n_(i)^(2)))`
लाइमैन श्रेणी के लिए `n_(f)=1` है। फिर `lambda`, अधिकतम होने के लिए दोनों स्तरों में ऊर्जा-अंतर न्यूनतम होना चाहिए और यह तब होता है जब `n_(i)=2` हो।
इस प्रकार `(1)/(lambda)=R((1)/(1^(2))-(1)/(2^(2)))=(3R)/(4)`
या `lambda=(4)/(3R)=(4)/(3xx1.097xx10^(7)m^(-1))`
`=1.216xx10^(-7)m=1216Å`
(b) बोर का सिद्धान्त, `He^(+)` परमाणु के लिए वैध है क्योकि इसमें भी एक इलेक्ट्रॉन है जो धनात्मक आवेश के 2 यूनिट वाले नाभिक अर्थात `Z=2` के गिर्द घूमता है।
इस स्थिति में (हाइड्रोजन परमाणु के लिए संगत सूत्र में `e^(2)` के स्थान पर `Ze^(2)` रख कर) यह सिद्ध किया जा सकता है कि
`E_(n)=-(m(Ze^(2))^(2))/(8epsilon_(0)^(2)n^(2)h^(2))=-(me^(4))/(2epsilon_(0)^(2)n^(2)h^(2))` (क्योकि `Z=2`)
परमाणु को निम्नतम अवस्था `(n=1)` से `n=3` अवस्था तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा
`E_(3)-E_(1)=(me^(4))/(2epsilon_(0)^(2)h^(2))((1)/(1^(2))-(1)/(3^(2)))=(4)/(9)((me^(4))/(epsilon_(0)^(2)h^(2)))^(**)`
या `E_(3)-E_(1)=(4)/(9)(108eV)=48eV`
क्योकि `E=-(13.6)/(n^(2))Z^(2)(eV)`, इसलिए
`E_(3)-E_(1)=-13.6xx(2)^(2)((1)/(3^(2))-(1)/(1^(2)))eV` (क्योकि `Z=2`)
`=-13.6xx4(-(8)/(9))eV=48.4eV`
(c ) `Li^(++)` परमाणु में भी केवल एक ही इलेक्ट्रॉन है और इस लिए बोर का सिद्धान्त लागू होता है।
इस प्रकार `E=-(m(Ze^(2))^(2))/(8epsilon_(0)^(2)n^(2)h^(2))=-(9)/(8)((me^(4))/(epsilon_(0)^(2)n^(2)h^(2)))` (क्योकि `Z=3`)
हम जानते है कि आयनन ऊर्जा, इलेक्ट्रॉन को निम्नतम स्थिति `(n=1)` से `n=oo` स्थिति तक स्थानान्तरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। इस प्रकार
`E_(oo)-E_(1)=(9)/(8)((me^(4))/(epsilon_(0)^(2)h^(2)))((1)/(1^(2))-(1)/(oo))=(9)/(8)((me^(4))/(epsilon_(0)^(2)h^(2)))`
`=(9)/(8)(108eV)=121.5eV`
इस प्रकार `Li^(++)` परमाणु की निम्नतम स्थिति का आयनन विभव = 121.5 V
क्योकि `E=-(13.6)/(n^(2))Z^(2)(eV)`, इसलिए `E_(oo)-E_(1)=-13.6Z^(2)((1)/(oo)-(1)/(1^(2)))`
`=-13.6xx(3)^(2)(-1)eV=122.4eV`