प्रत्यावर्ती धारा, उसका महत्तम मान तथा वर्ग-माध्य मूल मान का व्यंजक भी प्राप्त करें।

Explanation

प्रत्यावर्ती धारा - विद्युत धारा जिसका परिमाण समय के साथ परिवर्तित होता है तथा दिशा आवर्ती रूप से परिवर्तित होती है, प्रत्यावर्ती धारा कहते हैं। प्रत्यावर्ती धारा को निम्न प्रकार से व्यक्त किया जाता है।
`I=I_(0)sin omegat`
महत्तम मान तथा वर्ग-माध्य मूल मान
महत्तम मान तथा वर्ग-माध्य मान में सम्बन्ध - माना किसी चालक का प्रतिरोध R है। इसमें से `I=I_(0)sin omega t` मान की प्रत्यावर्ती धारा dt समय तक प्रवाहित होती है।
अत: चालक में उत्पन्न उष्मा, `dH=I^(2)Rdt`
`dH=I_(0)^(2)R sin^(2)omega tdt`
अब चालक में उत्पन्न उष्मा जब धारा t = 0 से t = T तक प्रवाहित हो।
`int dH= int_(0)^(T)I_(0)^(T) I_(0)^(2)R sin^(2)omega t dt " या, " H=I_(0)^(2)R int_(0)^(T) sin^(2) omega t dt`
चूँकि `sin^(2)omega t=((1-cos 2 omega t)/(2)) therefore H=I_(0)^(2)R int_(0)^(T) ((1-cos2omega t)/(2))dt`
`=(I_(0)^(2)R)/(2)int_(0)^(T)(1-cos 2omegat)dt=(I_(0)^(2)R)/(2)[ int_(0)^(T)dt -int_(0)^(T)cos 2omegat dt]`
`=(I_(0)^(2)R)/(2)[(t)_(0)^(T)-((sin2omega t)/(2omega))_(0)^(T)]`
`=(I_(0)^(2)R)/(2)[(T-0)-(1)/(2omega)[sin 2 xx (2pi)/(T)t]_(0)^(T) " " ("चूँकि "omega=(2pi)/(T))`
`H=(I_(0)^(2)R)/(2)[T-(1)/(2omega)(sin2xx(2pi)/(T)xxT)-sin0], H=(I_(0)^(2)R)/(2)T " " ...(i)`
`(because sin 4pi =sin0=0)`
अगर Irms प्रत्यावर्ती धारा का वर्ग माध्य मूल मान है, जो T समय के साथ R प्रतिरोध के चालक में से प्रवाहित होता है।
अत: चालक में उत्पन्न ऊष्मा `-H=I_("rms")^(2)RT " " ...(ii)`
समी (i) और (ii) से `I_("rms")^(2)RT=(I_(0)^(2)RT)/(2)`
`I_("rms")=(I_(0))/(sqrt(2))=0.70710 " " I_("rms")=0.707I_(0)`
अत: ऊपर से स्पष्ट है कि प्रत्यावर्ती धारा का वर्ग माध्य मूल मान महत्तम मान के 70 प्रतिशत होता है।