(a) यह ज्ञात है कि वायु का घनत्व `rho` ऊँचाई y (मीटरों में ) के साथ इस संबंध के अनुसार घटता है- `rho-rho_(0)e^(-y/y_(0))` यहाँ समुद्र तल पर वायु का घनत्व `rho_(0)=1.25 kgm^(-3)` तथा `y_(0)`, एक नियतांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमंडल का नियम कहते हैं। यह संकल्पना करते हुए कि वायुमंडल का ताप नियत रहता है (समतापी अवस्था) इस नियम को प्राप्त कीजिए। यह भी मानिए कि g का मान नियत रहता है।
(b) 1425`m^(3)` आयतन का हीलियम से भरा कोई बड़ा गुब्बारा 400kg के पेलोड को उठाने के काम में लाया जाता है। यह मानते हुए कि ऊपर उठते समय गुब्बारे की त्रिज्या नियत रहती है, गुब्बारा कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा? [`y_(0)=8000m` तथा `rho_(He)=0.18kgm^(-3)` लीजिए |]

Explanation

(a) वायुमंडल नियम `rho=rho_(0)e^(-y/y_(0))` की स्थापना , `rho_(0)=1.25` किग्रा./मी`.^(3)` (समुद्र तल पर वायु का घनत्व) तथा g- नियत है |
हम जानते हैं कि ऊँचाई # के साथ वायुमंडल के घनत्व में कमी की दर `(-(drho)/(dy))`, घनत्व के समानुपाती होती है।
`implies -(drho)/(dy)proptorho implies -(drho)/(dy)=K_(rho)` जहाँ K- नियतांक है `implies (drho)/rho=-Kdy`
समाकलन करने पर `log_(e)rho=-Ky+C` `" "` C-समाकलन स्थिरांक है
ऊँचाई y=0 ( समुद्र तल पर), `rho=rho_(0) implies C=log_(e)rho_(0) implies log_(e)rho-log_(e)rho_(0)=-Ky implies log_(e)rho/rho_(0)=-Ky` या `rho/rho_(0)=e^(-Ky)` या `rho=rho_(0)e^(-Ky) " " `(माना नियतांक `K=1/y_(0)`
`implies rho=rho_(0)e^(-y/y_(0))` इतिसिद्धम्
(b)दिया है- आयतन V=1425 मी`.^(3)`, पेलोड़ का द्रव्यमान m=400 किग्रा. , `y_(0)=8000` मी. , हीलियम का घनत्व `rho_(He)=0.18` किग्रा./मी`.^(3)`
`implies` हीलियम का द्रव्यमान `m_(He)=rho_(He)V=0.18 xx 1425=256.5`किग्रा.
`implies` ऊपर उठने वाला कूल द्रव्यमान `M=m+m_(He)=656.5` किग्रा.
अतः गुब्बारे का घनत्व `rho=M/V=656.5/1425=0.4607` किग्रा./मी`.^(3)`
`rho=rho_(0)e^(-y/y_(0))`से
`y/y_(0)=log_(e)(rho_(0)/rho)`
`rho_(0)=1.25` किग्रा/मी`.^(3)`
`y=y_(0)xx2.303 log_(10)(rho_(0)/rho)=8000xx 2.303log_(10)(1.25/0.4607)=8000 xx 2.303log_(10)2.7132=8000 xx 2.303 xx0.4335=7986.8` मी.
या `yapprox8000` मी. =8 किमी.