निम्नलिख्ति समय के फलानो में कौन (a ) आवर्ती तथा (b ) अनावर्ती गति को निरूपित करते है ? प्रत्येक आवर्ती गति का आवर्तकाल, लिखिए `[omega ` कोई धनात्मक नियतांक है ]
`(i) sin omega t + cos omega t`
(ii) `sin omega t + cos 2 omega t + sin 4 omega t`
(iii) `e ^(-omegat) `
(iv)` log (omegat)`

Explanation

दिया गया फलन
`sin omegat + cos omega t ` एक आवर्ती फलन है क्योकि
`sin omega t + cos omega t = sqrt2 sin omega t cos"" (pi)/(4) + sqrt2 cos omega t sin "" (pi)/(4)`
` =sqrt2 sin (omega t + (pi)/(4))`
`= sqrt2 sin (omega t + (pi)/(4) + 2pi )`
`=sqrt2 sin [ (t + (2pi)/(omega ) ) + (pi)/(4) ]`
तथा इस फलन का आवर्तकाल `T = (2pi)/(omega)` है।
(b) दिया गया फलन `sin omegat +cos2 omega t +sin 4 omegat ` एक आवर्ती फलन है तथा आवर्तगति को निरूपित करता है परन्तु दिए गए फलन के निम्न पदों के लिए कोणीय आवृत्ति एव आवर्तकाल भिन्न-भिन्न है।
(i) प्रथम पद के लिए कोणीय आवृत्ति `=omega ` आवर्तकार `T _(1 ) =(2pi )/(omega )`
(ii) द्वितीय पद के लिए कोणीय आवृत्ति `=2omega ` आवर्तकाल `T _(2 ) =(pi )/(omega ) =(T _(1 ))/(2 )`
(iii) तृतीय पद के लिए कोणीय आवृत्ति `=4omega ` आवर्तकाल ` T _(3 ) = (pi )/(2omega ) =(T _(1 ))/(4 )`
स्पस्टतः `T _(1 ),T _(2 )` एव `T _(3 )` का पूर्ण गुणज है अतः समयांतराल `T _(1 )=(2pi )/(omega )` के पश्चात तीनो पदों का योग पुनः एक साथ पुनरावृत्ति करेगा। अतः इस फलन का आवर्तकाल `T =(2pi )/(omega )`
(c) दिया गया फलन `e ^(-omegat )` एक चरघातांकी हासमान फलन है एक अनावृत्ति फलन है तथा इसका मान `t to oo ` पर शून्य की और अग्रसर होगा
(d) दिया गया फलन `log (omegat )` एक सतत वृद्धिमान फलन है जिसका मान `t to oo ` पर अन्नंत की और अग्रसर होगा अतः यह भी अनावर्ती फलन है।