सिद्ध करो एक सरल आवर्त गति में एक आवर्तकाल के अंतर्गत औसत गतिज ऊर्जा व् स्थितिज ऊर्जा का मान समान होता है।

Explanation

माना कि m द्रव्यमान का कण सरल आवर्त गति कर रहा है। जिसका आवर्तकाल T है। t समय पर कण का माध्य स्थिति से विस्थापन
`y = A sin omegat `
वेग `v = (dy)/(dt) = a omega cos omegat`
गतिज ऊर्जा `K = 1/2 mv ^(2)`
`=1/2 m A ^(2) omega ^(2) cos ^(2) omegat`
स्थितिज ऊर्जा `U =1/2 ky ^(2) =1/2 m omega ^(2) A ^(2) sin ^(2) omega t `
एक आवर्तकाल में औसत गतिज ऊर्जा
`K _(av) =1/2 int _(0) ^(T) Kdt`
`=1/2 int _(0)^(T) 1/2 mA ^(2) omega ^(2) cos ^(2) omega t dt`
`=(1)/( 2T) mA ^(2) omega ^(2) int _(0) ^(T) ((1+ cos 2 omega t))/( 2) dt`
`= (1)/( 4T) mA ^(2) omega ^(2) [ t + (sin 2 omegat)/(2omega)]_(0)^(T)`
`= (1)/( 4T) mA ^(2) omega ^(2) T =1/4 mA ^(2) omega ^(2) " "...(1)`
औसत स्थितिज ऊर्जा
`U _(av) = (1)/(T) int _(0) ^(T) U dt`
`=1/T int _(0) ^(T) 1/2 m omega ^(2) A ^(2) sin ^(2) omegat dt`
`= (1)/( 2T) mA ^(2) omega ^(2) int _(0) ^(T) ((1 - cos 2 omegat ))/( 2) dt`
`= (1 )/(4T) m A ^(2) omega [t -(sin 2 omega t)/( 2 omega ) ]_(0) ^(T)`
`= (1)/( 4T) m omega ^(2) A ^(2) (T) = 1/4 m omega ^(2) A^(2) ...(2)`
समीकरण (1 ) व (2 ) से
`K _(av) = U _(av)`