उस सरल लोलक की लम्बाई क्या है, जो हर सेकंड के बाद टिक करता है?

Explanation

दिया है `m =200 ` ग्राम `0.2` किग्रा `k =90 ` न्यूटन/मी
अवमंदन नियतांक `b = 40` ग्राम/से
या `b =0.04` किग्रा से
अतः अनुपात
`(b)/( sqrt km ) = (0.04)/( sqrt (90 xx 0.2)) = (0.04)/( sqrt ( 18))= (0.04)/( 4. 243) = 0.0094 lt lt 1`
अतः अवमंदन लघु है अतः आवर्तकाल सरल आवर्त गति व्यंजक से ज्ञात कर सकते है।
(a ) आवर्तकाल
`T = 2pi sqrt ((m)/(k)) = 2 xx 3. 14 sqrt ((0.2)/( 90)) = 2 xx 3 14 xx 0.047`
`T =0.295` से `~~0.3`
(b) समय जबकि आयाम प्रारंभिक आयाम का आधा रह जाये `because ` अवमन्तित सरल आवर्तगति के व्यंजक को निम्नानुसार व्यक्त कर सकते है -
`A= A _(0) e ^(-bt //2m)` जहाँ `A _(0)=` प्रारम्भिक आयाम है।
अतः यदि ` A = A _(0) //2` तब
`1/2 =e ^(-bT_(1)//2//2m)`
`implies e ^(-bT_(1) //(2)//2m)=2`
`implies (bT _(1//2))/( 2m ) = log _(e) 2= 0.693`
अतः ` T _(1//2) = (2m xx 0.693)/(b) = (2 xx 0.2 xx 0. 693)/(0.04)=6.93`
(c) यांत्रिक ऊर्जा के प्रारम्भिक मान का आधा रहने का समय -
`because ` अवमंदित दोलनों के लिए
`E _(t) = E _(0) e ^(- bt //m)`
` E _(0) =1/2 kA ^(2) =` प्रारम्भिक यांत्रिक ऊर्जा
अतः ` E _(t) = (E (0))/( 2)` रखने पर
`1/2 =e ^(-bt//m)`
या ` (bt)/(m) = log _(e) 2 = 0.693`
या ` t = (0.693 m )/(b) = (0.693xx 0.2)/( 0.04) =3.46` सेकण्ड