एक दुग्धमापी (यंत्र) जिसका द्रव्यमान 0.2 किग्रा है, 0.9 आपेक्षिक घनत्व वाले द्रव में सीधा तैर रहा है। यंत्र के अंशाकित भाग का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल` 0.5 x 10^(-4)मी^(2)` है यदि यंत्र को द्रव मे थोड़ा दबाकर छोड़ दिया जाये, तो उसकी गति किस प्रकार की होगी? उसके दोलन काल का सूत्र प्राप्त कीजिए।

Explanation

माना दुग्धमयी का द्रव्यमान m है तथा अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A है। द्रव का घनत्व `sigma ` तथा साम्यावस्था में दुग्धमपि के द्रव में दुबे भाग की लम्बाई `l _(0 )` है। अतः साम्यावस्था में

अर्थात `mg = Al _(0) sigma g" "...(1)`
जब दुग्धमपि को थोड़ा निचे विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है तो वह उर्ध्वार्धर ऊपर-निचे दोलन करने लगता है। माना किसी क्षण दुग्धमयी का माध्य स्थिति से निचे की और विस्थापन y है। अतः दुग्धमपि के द्रव में दुबे भांग की कुल लम्बाई `(l _(0 ) +y )` है।
इसलिए is स्थिति में द्रव का उलप्लावन बल ऊपर की और
`= (l _(0) + y ) A sigma g`
`therefore` दुग्धमपि पर ऊपर की और नेट बल
`= (l _(0) + y ) A sigma g - l _(0) A sigma g`
`= l _(0) A sigma g + y A sigma g -mg`
`= yA sigma g` [समीकरण (1 ) से ]
अर्थात प्रत्यञ्यान बल
`F =-A g sigma g `
यदि दुग्धमापि का त्वरण a हो तो `F =ma ` से
`ma =- y A sigmag`
या ` a = (-y A sigma g )/( m ) = - (A sigma g )/(m ) y " "...(2)`
स्पष्ट `a prop -y ` अर्थात त्वरण `prop ` विस्थापन।
यह सरल आवर्त गति का आवश्यक तथा पर्याप्त प्रतिबन्ध है ,
इसलिए दुग्धमापी की गति सरल आवर्त है।
सरल आवर्त गति का प्रामाणिक समीकरण है
` a =- omega ^(2) y" "...(3)`
जिसमे `omega ` कोणीय आवृत्ति है।
समीकरण (2 ) व (3 ) की tulan करने पर
`omega ^(2) = ( A sigma g )/(m)`
`therefore` आवर्त काल ` T = (2 pi)/( omega ) = (2pi )/( sqrt ((A sigma g )/( m )))`
या `T = 2pi sqrt ((m) /( A sigma g ))`
यही दुग्धमापी के दोलन काल का सूत्र है
यहॉँ ` m = 0.2 ` किग्रा `A = 0.5xx 10 ^(-4), मी^(2 ) (sigma )/("जल का घनत्व") =0.9`
`therefore sigma = 0.9 xx ` जल का घनत्व ` = 0.9 xx 10 ^(3) "किग्रा/मी"^(3 )`
`therefore T = 2 xx 3. 14 sqrt (((0.2)/( 0.5 xx 10 ^(-4) xx 0.9 xx 10 ^(3) xx 9.8)))`
`= 4.2` सेकण्ड