Evaluate `int(1)/(1+sinx)dx`.

Explanation

(i) `int(dx)/((1+ sinx)) =int1/((1+sinx)) xx ((1-sinx))/((1-sinx)) dx`
`= int ((1-sinx))/((1-sin^(2)x)) dx = int((1-sinx))/(cos^(2)x) dx`
`= int((1)/(cos^(2)x)-(sinx)/(cos^(2)x))dx = int(sec^(2)x - secx tanx) dx`
`= intsec^(2)xdx - intsecx tanxdx = tan x - sec x + C`.
(ii) `int((sinx)/((1+sinx)) dx = int((1+sinx)-1)/((1+sinx))dx`
`= int(1-(1)/(1+sinx)) dx = intdx - int(1)/((1+sinx))dx`
`= intdx - int(1)/((1+sinx))xx ((1-sinx))/((1-sinx)) dx`
`= intdx - int((1-sinx))/(cos^(2)x) dx = intdx - int((1)/(cos^(2)x) - (sinx)/(cos^(2)x))dx`
`= intdx - intsec^(2)xdx + int secx tanxdx = x - tan x + secx + C`.