In any `DeltaABC`, prove that `((b^(2)-c^(2)))/a^(2)"sin 2a"+((c^(2)-a^(2)))/b^(2)" sin 2B+"((a^(2)-b^(2)))/c^(2)"sin 2C=0"`

Explanation

By the sine rule, we have
`a/("sin A")=b/("sin B")=c/("sin C")="k(say)"`
`rArr" a = k sin B and c = k sin C".`
Applying sine rule and cosine formula, we get:
`((b^(2)-c^(2)))/a^(2)"sin 2A"=((b^(2)-c^(2)))/a^(2)"(2 sin A cos A)"`
`=((b^(2)-c^(2)))/a^(2)((2a)/k)((b^(2)+c^(2)-a^(2)))/(2bc)" "[because"sin A"=a/k" and cos A"=((b^(2)+c^(2)-a^(2)))/(2bc)]`
`=1/("(kabc)")(b^(2)-c^(2))(b^(2)-c^(2)-a^(2))" ...(i)"`
`"Similarly,"((c^(2)-a^(2)))/b^(2)"sin 2B"=1/("(kabc)")(c^(2)-a^(2))(c^(2)+a^(2)-c^(2))" ...(ii)"`
`"And,"((a^(2)-b^(2)))/c^(2)"sin 2C"=1/("(kabc)")(a^(2)-b^(2))(a^(2)+b^(2)-c^(2))" ...(iii)"`
From (i), (ii) and (iii), we get
`"LHS"=((b^(2)-c^(2)))/a^(2)" sin 2A"+((c^(2)-a^(2)))/b^(2)"sin 2B"+((a^(2)-b^(2)))/c^(2)"sin 2C"`
`==1/("(kabc)")[(b^(2)-c^(2))(b^(2)+c^(2)-a^(2))+(c^(2)-a^(2))(c^(2)+a^(2)-b^(2)+(a^(2)-b^(2))(a^(2)+b^(2)-c^(2))]`
`=1/("(kabc)")xx0=0"RHS"`.
`"Hence,"((b^(2)-c^(2)))/a^(2)"sin 2A+"((c^(2)-a^(2)))/b^(2)" sin 2B +"((a^(2)-b^(2)))/c^(2)"sin 2C=0`.