किसी अवतल गोलीय पृष्ठ पर आपतित प्रकाश के अपवर्तन के लिए सूत्र `(n)/(v)-(1)/(u)=(n-1)/(R)` स्थापित कीजिए | n पदार्थ का वायु के सापेक्ष अपवर्तनांक तथा R गोलीय तल की त्रिज्या है |
अथवा किसी अवतल गोलीय पृष्ठ पर प्रकाश के अपवर्तन के लिए सूत्र `((mu)/(v)-(1)/(u))=(mu-1)/(R)` का निगमन कीजिए | यहाँ प्रतिको के सामान्य अर्थ है | +2.50 D तथा -3.75 D क्षमता वाले दो लेन्सो को मिलाकर एक संयुक्त लेन्स की फोकस दुरी ज्ञात कीजिए |

Explanation

अवतल गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन का सूत्र-माना QPQ. वक्रता त्रिज्या R का एक अवतल गोलीय पृष्ठ है (चित्र), जो निरपेक्ष अपवर्तनांक `n_(1)` के विरल माध्यम को निरपेक्ष अपवर्तनांक `n_(2)` के सघन माध्यम से पृथक करता है इस पृष्ठ का ध्रुव P तथा वक्रता केंद्र C है| माना इसकी मुख्य अक्ष PC पर एक बिंदु-वस्तु O स्थित है, जिससे चलने वाली प्रकाश की एक किरण OM अवतल पृष्ठ के बिंदु पश्चात् अभिलम्ब CMN की ओर झुक जाती है | दूसरी आपतित किरण OP गोलीय पृष्ठ पर लम्बवत गिरती है और दुसरे माध्यम में सीधी चली जाती है | ये दोनों अपवर्तित किरने पीछे की ओर बढाए जाने पर बिंदु I पर मिलती प्रतीत होती अत: बिंदु I, बिंदु-वस्तु O का आभासी प्रतिबिम्ब है |

माना आपतन कोण OMC=i, अपवर्तन कोण AMN=r, ध्रुव P से वस्तु की दुरी PO=-u, प्रतिबिम्ब की दुरी PI=-v तथा पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या PC=-R है | माना OM, IM तथा CM मुख्य अक्ष से क्रमश: `alpha,beta` तथा `gamma` कोण बनाती है तथा M से मुख्य अक्ष पर खींचे गए अभिलम्ब ML की ऊँचाई h है |
`DeltaOMC` में, `gamma=alpha+i` अथवा `i=gamma-alpha` . . . (1)
`DeltaIMC` में, `gamma=beta+r` अथवा `r=gamma-beta` . . (2)
स्नेल के नियमनुसार, `(sinr)/(sinr)=(n_(2))/(n_(1))`
यदि अवतल गोलीय पृष्ठ व्यास छोटा हो तो बिंदु M, ध्रुव P के निकट होगा, तब कोण `i` व् `r` अत्यन्त छोटे होंगे | यदि कोण `i` व् r रेडियन में हो तो
`sini=i` तथा `sinr=r`
अत: `(i)/(r)=(n_(2))/(n_(1))`
अथवा `n_(1)i=n_(2)r` . . (3)
समीकरण (1) व् समीकरण (2) से `i` व् r के मान समीकरण (3) में रखने पर, `n_(1)(gamma-alpha)=n_(2)(gamma-beta)`
अथवा `n_(1)gamma-n_(1)alpha=n_(2)gamma-n_(2)beta`
अथवा `n_(2)beta-n_(1)alpha=gamma(n_(2)-n_(1))` . . .(4)
चूँकि पृष्ठ का व्यास छोटा माना गया है, अत: कोण `alpha,beta` व् `gamma` भी छोटे होंगे तथा बिंदु M व् L ध्रुव `P` के समीप होंगे | इस दशा में,
`alpha=tanalpha=(ML)/(LO)=(ML)/(PO)=(h)/((-u))`
`beta=tanbeta=(ML)/(LI)=(ML)/(PI)=(h)/((-v))`
`gamma=tangamma=(ML)/(LC)=(ML)/(PC)=(h)/((-R))`
`alpha,beta` व् `gamma` के मान समीकरण (4) में रखने पर,
`n_(2)((h)/(-v))-n_(1)((h)/(-u))=(h)/(-R)(n_(2)-n_(1))`
अथवा `(n_(2))/(v)-(n_(1))/(u)=((n_(2)-n_(1)))/(R)` . . (5)
यदि n सघन माध्यम का विरल माध्यम के सापेक्ष अपवर्तनांक है तो `n_(2)//n_(1)=n`, अत: समीकरण (5) से,
`(n_(2)//n_(1))/(v)-(1)/(u)=((n_(2)//n_(1))-1)/(R)`
अथवा `(n)/(v)-(1)/(u)=(n-1)/(R)`
दिया है, `P_(1)=2.50D,P_(2)=-3.75D`
संयुक्त लेन्स की क्षमता, `P=P_(1)+P_(2)`
`=2.50-3.75=-1.25D`
संयुक्त लेन्स की फोकस दुरी `f=(100)/(P)` सेमी
`=(100)/((-1.25))=-80` सेमी |