किसी पतले लेन्स के लिए अपवर्तन का सूत्र स्थापित कीजिए | इसके आधार पर सिद्ध कीजिए की अवतल लेन्स की फोकस दुरी ऋणात्मक होती है |

Explanation

गोलीय पृष्ठ पर प्रकाश के अपवर्तन का सूत्र निम्नलिखित है -
`(n)/(v)-(1)/(u)=(n-1)/(R)`
पतले लेन्स के लिए अपवर्तन का सूत्र-माना एक पतला उत्तल लेन्स L वायु में रखा है | लेन्स के पदार्थ का वायु के सापेक्ष अपवर्तनांक `n_(2)` है लेन्स के दोनों ओर माध्यम समान है जिसका अपवर्तनांक `n_(1)` है | माना लेन्स का प्रकाशिक केंद्र C है तथा इसके पहले व् दुसरे पृष्ठों की वक्रता त्रिज्याएँ क्रनाश: `R_(1)` व् `R_(2)` है | माना लेन्स की मोटाई t है | माना लेन्स के मुख्य अक्ष पर एक बिंदु-वस्तु O, प्रथम पृष्ठ के ध्रुव `P_(1)` से `u` दुरी पर रखी है |

माना किरणे माध्यम `n_(1)` से माध्यम `n_(2)` की ओर जा रही है, अत: प्रथम गोलीय पृष्ठ पर अपवर्तन के सूत्र से,
`(n_(2))/(v.)-(n_(1))/(u)=(n_(2)-n_(1))/(R_(1))` . . (1)
यह प्रतिबिम्ब I. द्रितीय पृष्ठ के लिए आभासी वस्तु का कार्य करता है | प्रतिबिम्ब I. की द्रितीय पृष्ठ के ध्रुव `P_(2)` से दुरी `(v.-t)` होगी " द्रितीय पृष्ठ द्वारा I. का अंतिम प्रतिबिम्ब I इस पृष्ठ के ध्रुव `P_(2)` से v दुरी पर बनता है |
अत: `(n_(1))/(v)-(n_(2))/((v.-t))=((n_(1)-n_(2)))/(R_(2))` . . (2)
पतले लेन्स के लिए t का मान v के सापेक्ष उपेक्षीय है | अत: समीकरण `(2) ` से ,
`(n_(1))/(v)-(n_(2))/(v.)=(n_(1)-n_(2))/(R_(2))=-((n_(2)-n_(1)))/(R_(2))` . . (3)
समीकरण (1) व् समीकरण (3) को जोड़ने पर,
`(n_(1))/(v)-(n_(1))/(u)=(n_(2)-n_(1))((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
अथवा `(1)/(v)-(1)/(u)=((n_(2))/(n_(1))-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
अथवा `(1)/(v)-(1)/(u)=(""_(1)n_(2)-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
हम जानते है की जब कोई वस्तु अनंत पर होती है तो प्रतिबिम्ब लेन्स के द्वितीय फोकस पर बनता है, अर्थात जब `u=oo` है तो `v=f`.
अत: `(1)/(f)-(1)/(oo)=(""_(1)n_(2)-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
अथवा `(1)/(f)=(""_(1)n_(2)-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))` . . (4)
यदि प्रथम माध्यम वायु तथा लेन्स के पदार्थ का अपवर्तनांक n हो तो यह मान समीकरण (4) में रखने पर
`(1)/(f)=(n-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
यही पतले लेन्स के लिए अपवर्तन का सूत्र है |
अवतल लेन्स के लिए `R_(1)` ऋणात्मक तथा `R_(2)` धनात्मक होता है तथा
अत: `(1)/(f)=(n-1)((1)/(-R_(1))-(1)/(R_(2)))=-(n-1)((1)/(R_(1))+(1)/(R_(2)))`
अत: अवतल लेन्स की फोकस दुरी ऋणात्मक होती है |
दिया है, `""_(a)n_(g)=1.5,""_(a)n_(w)=4//3,f_(a)=10` सेमी
वायु में फोकस दुरी, `(1)/(f_(a))=(""_(a)n_(g)-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
जल में फोकस दुरी, `(1)/(f_(w))=((""_(a)n_(g))/(""_(a)n_(w))-1)((1)/(R_(1))-(1)/(R_(2)))`
`therefore (f_(w))/(f_(a))=((""_(a)n_(g)-1))/(((""_(a)n_(g))/(""_(a)n_(w))-1))`
या `(f_(w))/(10)` सेमी `=((1.5-1))/(((1.5)/(4//3)-1))=(0.5)/(0.5)xx4`
या `f_(w)=40` सेमी |