परस्पर सम्पर्क में रखे दो पतले लेन्सो के संयुजन की फोकस दुरी के लिए सूत्र निगमित कीजिए |
अथवा `f_(1) ` व् `f_(2)` फोकस दुरी के दो पतले लेन्स सम्पर्क में रखे है | सिद्ध कीजिए की संयुक्त लेन्स की फोकस दुरी `F=(f_(1)f_(2))/(f_(1)+f_(2))` होगी |

Explanation

सम्पर्क में रखे दो पतले लेन्सो की संयुक्त फोकस दुरी-
1. जब दोनों लेन्स उत्तल है- माना दो पतले उत्तल लेन्स `L_(1) ` व् `L_(2)` वायु में एक दुसरे के सम्पर्क में इस प्रकार रखे है की इनकी मुख्य अक्ष एक ही है| माना इनकी फोकस दूरियाँ क्रमश: `f_(1) ` व् `f_(2)` है | माना एक बिंदु-वस्तु O, मुख्य अक्ष पर पहले लेन्स `L_(1)` के सामने u दुरी पर राखी है | माना लेन्स `L_(2)` की अनुपस्थिति में लेन्स `L_(1)` द्वारा बिंदु-वस्तु O का प्रतिबिम्ब I. पर बनता है | माना प्रतिबिम्ब I. की लेन्स `L_(1)` से दुरी v. है तो लेन्स के सूत्र से,
`(1)/(v.)-(1)/(u)=(1)/(f_(1))` . . (1)
अब प्रतिबिम्ब I. लेन्स `L_(2)` के लिए आभासी वस्तु का कार्य करता है जिसका प्रतिबिम्ब I पर बनता है | यदि लेन्स `L_(2)` से प्रतिबिम्ब I की दुरी v हो तो
`(1)/(v)-(1)/(u)=(1)/(f_(1))+(1)/(f_(2))` . . (3)
यदि इन दोनों लेन्सो के स्थान पर एक ऐसा लेन्स प्रयुक्त करे जो u दुरी पर स्थित वस्तु का प्रतिबिम्ब v दुरी पर बनाए | यदि इस लेन्स की फोकस दुरी F है तो
अत: `(1)/(v)-(1)/(u)=(1)/(F)`

समीकरण (3) व् समीकरण (4) की तुलना करने पर
`(1)/(F)=(1)/(f_(1))+(1)/(f_(2))` अथवा `F=(f_(1)f_(2))/(f_(1)+f_(2))`
इस सूत्र से संयुक्त लेन्स की फोकस दुरी F ज्ञात की जा सकती है|
2. जब एक लेन्स उत्तल तथा दुसरा अवतल है- माना उत्तल लेन्स की फोकस दुरी `f_(1)` तथा अवतल लेन्स की फोकस दुरी `f_(2)` है |
अत: `(1)/(F)=(1)/(f_(1))+(1)/(-f_(2))=(1)/(f_(1))-(1)/(f_(2))` अथवा `F=(f_(1)f_(2))/(f_(2)-f_(1))`
(i) यदि `f_(1) gt f_(2)`, तब F ऋणात्मक होगा, अत: संयुक्त लेन्स अवतल लेन्स की भाँती कार्य करेगा |
(ii) यदि `f_(1)ltf_(2)`, तब `F` धनात्मक होगा, अत: संयुक्त लेन्स उत्तल लेन्स की भाँती कार्य करेगा |
(iii) यदि `f_(1)=f_(2)`, तब `F=oo` होगा, अत: संयुक्त लेन्स समतल प्लेट की भाँती व्यवहार करेगा|
प्रथम लेन्स के लिए, `u_(1)=-30` सेमी,
`f_(1)=10` सेमी
अत: `(1)/(f_(1))=(1)/(v_(1))-(1)/(u_(1))`
या `(1)/(v_(1))=(1)/(f_(1))+(1)/(u_(1))=(1)/(10)+(1)/((-30))`
`=(3-1)/(30)=(1)/(15)`
या `v_(1)=15` सेमी
दुसरे लेन्स के लिए, `u_(2)=+15-5+10` सेमी
`f_(2)=-10` सेमी
अत: `(1)/(v_(2))=(1)/(-10)+(1)/(10)=0`
या `v_(2)=oo`
तीसरे लेन्स के लिए,
`u_(3)=oo`
`f_(3)=30` सेमी,
अत: `(1)/(v_(3))=(1)/(30)+(1)/(oo)=1/(30)`
या `v_(3)=30` सेमी,
अत: वस्तु का वास्तविक प्रतिबिम्ब तीसरे लेन्स से 30 सेमी दुरी पर प्राप्त होगा |