किसी लेन्स से प्रकाश के अपवर्तन के लिए न्यूनतन का सूत्र `x_(1)x_(2)=f_(1)f_(2)` स्थापित कीजिए, जहाँ लेन्स के प्रथम फोकस से वस्तु की दुरी प्रथम एवं द्वितीय फोकस दूरियाँ है| इसकी सहायता से सिद्ध कीजिए की लेन्स की कितनी फोकस दुरी पर वस्तु का प्रतिबिम्ब अनंत पर बनेगा |

Explanation

प्रकाश के अपवर्तन के लिए न्यूनतन के सूत्र की उपपत्ति- माना पतले उत्तल लेन्स L की मुख्य अक्ष पर एक वस्तु AB अक्ष के लम्बवत सहित है (चित्र) | बिंदु `F_(1)` तथा बिंदु `F_(2)` लेन्स के क्रमश: प्रथम व् द्वितीय फोकस है | बिंदु B से लेन्स के मुख्य अक्ष के समांतर किरण BF लेन्स से अपवर्तन के पश्चात लेन्स के द्वितीय फोकस `F_(2)` से होकर जाती है | दूसरी किरण BC प्रथम फोकस `F_(1)` से गुजरकर अपवर्तन के पश्चात् मुख्य अक्ष के अमंतर हो जाती है | ये दोनों अपवर्तित किरणे बिन्दु D पर मिलती है तथा DE मुख्य अक्ष पर अभिलम्ब है, अत: लेन्स द्वारा वस्तु AB का प्रतिबिम्ब DE बनता है |

माना वस्तु AB तथा प्रतिबिम्ब DE की क्रमश: `F_(1)` तथा `F_(2)` से दूरियाँ `x_(1)` तथा `x_(2)` है, जबकि लेन्स की बायु ओर के माध्यम में फोकस दुरी `f_(1)` तथा दाई ओर के माध्यम में फोकस दुरी `f_(2)` है |
समरूप `DeltaABF_(1)` तथा `DeltaOCF_(1)` में,
`(AB)/(OC)=(AF_(1))/(OF_(1))` . . (1)
तथा समरूप `DeltaOF F_(2)` तथा `DeltaDEF_(2)` में,
`(OF)/(DE)=(OF_(2))/(F_(2)E)`
परन्तु `OF=AB` तथा `DE=OC`,
अत: `(AB)/(OC)=(OF_(2))/(F_(2)E)` . . (2)
अत: समीकरण (1) तथा समीकरण (2) से,
`(AF_(1))/(OF_(1))=(OF_(2))/(F_(2)E)`
अथवा `AF_(1)xxF_(2)E=OF_(1)xxOF_(2)` . . (3)
परन्तु `AF_(1)=-x_(1)` व् `F_(2)E=x_(2)`
तथा `OF_(1)=-f_(1)` व् `OF_(2)=f_(2)`
ये मान समीकरण (3) में रखने पर,
`(-x_(1))x_(2)=(-f_(1))f_(2)`
अत: `x_(1)x_(2)=f_(1)f_(2)`
यही लेन्स द्वारा अपवर्तन के लिए न्यूटन का व्यापक सूत्र है|
सूत्र `(1)/(f)=(1)/(v)-(1)/(u)` से,
`(1)/(v)=(1)/(f)+(1)/(u)=(1)/(f)+(1)/(-f)=0`
अत: `v=oo`