`|(ax,by,cz),(x^(2),y^(2),z^(2)),(1,1,1)|=`

Without expanding the determinant, prove that (i) |{:(a,a^(2),bc),(b,b^(2),ca),(c,c^(2),ab):}|=|{:(1,a^(2),a^(3)),(1,b^(2),b^(3)),(1,c^(2),c^(3)):}| (ii) |{:(ax,by,cz),(x^(2),y^(2),z^(2)),(1,1,1):}|=|{:(a,b,c),(x,y,z),(yz,zx,xy):}| (iii) |{:(1,bc,b+c),(1,ca,c+a),(1,ab,a+b):}|=|{:(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2)):}|

Let Delta=|(Ax,x^(2),1),(By,y^(2),1),(Cz,z^(2),1)| and Delta_(1)=|(A,B,C),(x,y,z),(zy,zx,xy)| then

Prove that |{:((1+ax)^(2),(1+ay)^(2),(1+az)^(2)),((1+bx)^(2),(1+by)^(2),(1+bz)^(2)),((1+cx)^(2),(1+cy)^(2),(1+cz)^(2)):}|=2(a-b)(b-c)(c-a)(x-y)(y-z)(z-x) .

Let Delta_(1)=|{:(Ax,x^(2),1),(By,y^(2),1),(Cz,z^(2),1):}| and Delta_(2)=|{:(A,B,C),(x,y,z),(yz,zx,xy):}| , then :

If Delta_(1)=|{:(Ax,x^(2),1),(By,y^(2),1),(Cz,z^(2),1):}|" and "Delta_(2)=|{:(A,B,C),(x,y,z),(yz,zx,xy):}| , then

prove that |{:((a-x)^(2),,(a-y)^(2),,(a-z)^(2)),((b-x)^(2),,(b-y)^(2),,(b-z)^(2)),((c-x)^(2),,(c-y)^(2),,(c-z)^(2)):}| |{:((1+ax)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cx)^(2)),((1+ay)^(2),,(1+by)^(2),,(1+cy)^(2)),((1+az)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cz)^(2)):}| =2 (b-c)(c-a)(a-b)xx (y-z) (z-x)(x-y)

Delta= |[Ax,x^(2),1],[By,y^(2),1],[Cz, z^(2),1]| and Delta_(1)= |[A,B,C],[x,y,z],[zy, zx,xy]|

If (a^(2)+b^(2)+c^(2))(x^(2)+y^(2)+z^(2))=(ax+by+cz)^(2), then show that x:a=y:b=z:c

If(a^(2)+b^(2)+c^(2))(x^(2)+y^(2)+z^(2))=(ax+by+cz)^(2) shewthatx :a=y:b=z: