सिद्ध कीजिए कि
`|{:(a^(2)+1,b^(2),c^(2)),(a^(2),b^(2)+1,c^(2)),(a^(2),b^(2),c^(2)+1):}|=1+a^(2)+b^(2)+c^(2)`

|(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2))|=

det[[ Prove that :,c^(2)a^(2),b^(2),c^(2)(a+1)^(2),(b+1)^(2),(c+1)^(2)(a-1)^(2),(b-1)^(2),[c-1)^(2)]]=4det[[a^(2),b^(2),c^(2)a,b,c1,1,1]]

[[a^(2),b^(2),c^(2)(a+1)^(2),(b+1)^(2),(c+1)^(2)(a-1)^(2),(b-1)^(2),(c-1)^(2)]]=k[[a^(2),b^(2),c^(2)a,b,c1,1,1]]

If a,b,c are sides of a triangle and |(a^(2),b^(2),c^(2)),((a+1)^(2),(b+1)^(2),(c+1)^(2)),((a-1)^(2),(b-1)^(2),(c-1)^(2))|=0 then

Prove that |(1+a^(2)+a^(4),1+ab+a^(2)b^(2),1+ac+a^(2)c^(2)),(1+ab+a^(2)b^(2),1+b^(2)+b^(4),1+bc+b^(2)c^(2)),(1+ac+a^(2)c^(2),1+bc+b^(2)c^(2),1+c^(2)+c^(4))|=(a-b)^(2)(b-c)^(2)(c-a)^(2)

Sove that |(1,a,a^(2)),(1,b,b^(2)),(1,c,c^(2))|^(2)=|(1+a^(2)+a^(4),1+ab+a^(2)b^(2),1+ac+a^(2)c^(2)),(1+ab+a^(2)b^(2),1+b^(2)+b^(4),1+bc+b^(2)c^(2)),(1+ac+a^(2)c^(2),1+ba+b^(2)c^(2),1+c^(2)+c^(4))| and hence show RHS determinent is =(a-b)^(2)(b-c)^(2)(c-a)^(2)

|[a^(2), b^(2), c^(2)], [(a+1)^(2), (b+1)^(2), (c+1)^(2)], [(a-1)^(2), (b-1)^(2), (c-1)^(2)]| =-4(a-b)(b-c)(c-a)

|(1,a^(2),a^(4)),(1,b^(2),b^(4)),(1,c^(2),c^(4))|=(a+b)(b+c)(c+a)|(1,1,1),(a,b,c),(a^(2),b^(2),c^(2))|

1,1,1a,b,ca^(2),b^(2),c^(2)]|=(a-b)(b-c)(c-a)

[[ Prove that 1+a^(2)+a^(2)b^(2),1+ab+a^(2)b^(2),1+ac+a^(2)c^(2)1+ab+a^(2)b^(2),1+b^(2)+b^(4),1+bc+b^(2)c^(2)1+ac+a^(2)c^(2),1+bc+b^(2)c^(2),1+c^(2)+c^(2)]]=(a-b)^(2)(b-c)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-a)^(2)(c-