LC परिपथ में दोलन
एक LC परिपथ में 20 mH का प्रेरक और 10 mC आरम्भिक आवेश वाला एक `50 mu F` संधारित्र है। परिपथ का प्रतिरोध नगण्य है। मान लें कि क्षण `t = 0 ` पर परिपथ बन्द किया जाता है।
(a) आरम्भ में कुल कितनी ऊर्जा संचित है? क्या यह LC दोलनों के दौरान संरक्षित रहती है?
(b) परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति क्या है?
(c) संचित ऊर्जा किस समय
(i) पूर्णतया वैद्युत (अर्थात् संधारित्र में संचित) और
(ii) पूर्णतया चुम्बकीय ( अर्थात् प्रेरक में संचित ) होती है?
(d) किन समयों पर कुल ऊर्जा, प्रेरक और संधारित्र में बराबर-बराबर बँटती है?
(e) यदि परिपथ में एक प्रतिरोधक डाला जाए, तो अन्त में कितनी ऊर्जा का ऊष्मा के रूप में क्षय होता है?

Explanation

हमें पता है कि
`L = 20 mH = 20 xx 10^(-3) H " और " C = 50 mu F = 50 xx 10^(-6) F`
संधारित्र पर आरम्भिक आवेश `Q_(0) = 10 mC`
` = 10 xx 10^(-3) C = 10^(-2) C`
(a) कुल आरम्भिक संचित ऊर्जा ` = Q_(0)^(2)/(2C) = ((10^(-2))^(2))/(2(50 xx 10^(-6))) J = 1.0 J`
यदि ऊर्जा, LC दोलनों के दौरान संरक्षित रहती है यदि परिपथ में कोई प्रतिरोध न हो अर्थात `R = 0^(***)`हो।
(b) यदि LC दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति v हो , तो
` v = 1/(2 pi sqrt(LC)) = 1/(2 xx 3.14 sqrt((20 xx 10^(-3))(50 xx 10^(-6)))) Hz = 159 Hz `
(c) LC परिपथ में संधारित्र आवेश, सरल आवर्त ढंग से परिवर्तित होता है।
क्योंकि `t = 0 " पर " Q = Q_(0)`, इसलिए समय t पर संधारित्र पर आवेश `Q = Q_(0) cos omega t = Q_(0) cos ((2 pi)/T t)`
(i) परिपथ में संचित ऊर्जा, पूर्ण रूप से वैद्युत होगी जब `Q = Q_(0)` अर्थात्
जहाँ
`cos ((2pi)/T) = pm 1 = cos k pi`
जहाँ `k = 0 , 1, 2, 3, ....`
या `t = (kT)/2 " या " t = 0, T/2, T, (3T)/2 , ....`
(ii) संचित ऊर्जा, पूर्ण रूप से चुम्बकीय होगी यदि `Q = 0 `अर्थात
`Q_(0) cos ((2 pi)/T t) = 0 `
या `cos ((2pi)/T t) = cos (2 k + 1) pi/2`
जहाँ `k = 0, 1, 2, ...`
अर्थात `t = ((2k + 1) T)/4`
या `t = T/4, (3T)/4, (5T)/4, ...`
(d) यदि कुल , प्रेरक और संधारित्र में बराबर - बराबर बँटी हो , तो संधारित्र में संचित ऊर्जा ` = 1/2 "( कुल ऊर्जा )" = 1/2 (Q_(0)^(2)/(2C))`
यदि ऐसे समयों पर संधारित्र पर आवेश Q हो , तो
`Q^(2)/(2C) = 1/2 (Q_(0)^(2)/(2C)) " या " Q = pm Q_(0)/sqrt2`
क्योंकि `Q = Q_(0) cos ((2pi)/T t) , " इसलिए " pm Q_(0)/sqrt2 = Q_(0) cos ((2pi)/T t)`
या `cos ((2 pi)/T t) = pm 1/sqrt2 = cos (2 k + 1) pi/4`
या `t = ((2 k + 1)T)/8 " जहाँ " k = 0, 1, 2, ...`
या `t = T/8, (3T)/8 , (5T)/8 , ...`
( यहाँ `T = 1/v = 1/(159 s) = 6.3 xx 10^(-3) s = 6.3 ms)`
(e) पूरी ऊर्जा `(1.0 J)`का उष्मा के रूप में क्षय तब होता है जब एक प्रतिरोधक , परिपथ में लाया जाए।