यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओ के बीच स्थित हो , तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है ।

Explanation

मान लीजिए `Delta ABP` और समांतर चतुर्भुज `ABCD` एक ही आधार `AB` और एक ही समांतर रेखाओं `AB` और `PC` के बीच स्थित हैं (देखिए आकृति )
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सिद्ध करना है-
`ar``(PAB)``=` `1/ 2``ar``(ABCD)`

एक अन्य समांतर चतुर्भुज `ABQP` प्राप्त करने के लिए, `BQ`||`AP` खींचिए।
अब समांतर चतुर्भुज `ABQP` और `ABCD` एक ही आधार `AB` और एक ही समांतर रेखाओं `AB` और `PC` के बीच स्थित हैं।
अतः, `ar``(ABQP)=ar(ABCD)`....`(i)`
[प्रमेय `1` से (एक आधार और एक समांतर रेखाओ के बीच स्थित समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते है)]

परंतु `Delta PAB cong Delta BQP`
(विकर्ण `PB` समांतर चतुर्भुज `ABQP` को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है)
`=>` `ar (PAB) = ar (BQP)`
या `ar (PAB)= 1/2 ar(ABQP)`....`(ii)`

अतः समी `(i)` और `(ii)` से

`ar (PAB)= 1/2 ar(ABCD)`