किसी ठोस गोले का द्रव्यमान M तथा इसकी त्रिज्या R है। इसमें से अधिकतम सम्भव आयतन का एक क्यूब (धन) काट लिया जाता है। इस क्यूब का जड़त्व आघूर्ण कितना होगा, यदि इसका घूर्णन अक्ष इसके केन्द्र से होकर गुजरता है तथा इसके किसी एक फलक के लम्बवत् है।

Options

A. `(MR ^(2))/(32 sqrt2pi)`
B. `(MR ^(2))/(16 sqrt2pi)`
C. `(4MR^(2))/(9sqrt3pi)`
D. `(4MR^(2))/(3sqrt3pi)`

Answer

C

Explanation

दिया गया चित्र म द्रव्यमान के एक ठोस गोले को darshata है गोले की त्रिज्या R है गोले का आयतन =
`V = (4pi )/( 3) R ^(3)`है
गोले का घनत्व है `rho = (M)/(V) = (M )/( (4pi )/( 3 ) R ^(3)) = (3M )/( 4pi R ^(3))`
इस ठोस गोले से अधिकतम संभव आयतन एक घनाकर लिया गया है
अतः `2R =sqrt2 a ,` जहाँ a अधिकतम आयतन के धन के एक फलक की लम्बाई `a = (2R )/(sqrt3 )`
धन का द्रव्यमान `M . = rho a ^(3) = (3M )/( 4pi R ^(3)) (8 R ^(3))/( 3 sqrt3) = (2M )/( sqrt3 pi )`
धन का जड़त्व आघूर्ण है
`M (a ^(2))/( 6) = (2M )/( sqrt3pi ) xx 1/6 xx ((2R)/( sqrt3 )) ^(2) = ( 8 MR ^(2))/( 18 sqrt3 pi ) = (4MR ^(2))/( 9 sqrt3 pi ).`