एक निर्देश तंत्र जो एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र की तुलना में त्वरित हो, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र कहलाता है। स्थिर कोणीय वेग `omega` से घूमती हुई डिस्क पर बद्ध निर्देश तंत्र अजड़त्वीय तंत्र का एक उदाहरण है। m द्रव्यमान का एक कण घूमती हुई डिस्क पर गतिमान है। गतिमान कण डिस्क पर बद्ध निर्देश तंत्र के सापेक्ष बल `F_(rot)` तथा एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र के सापेक्ष बल `vecF_(l n)` को महसूस करता है। `vecF_(rot)` और `vecF_(l n)` के बीच का संबंध निम्नलिखित समीकरण में दिया गया है `vecF _(rot) = vecF_(i n) + 2m (vecv _(r ot) xx vecomega)+ m (vec omega xx vecr) xx vecomega.`
यहाँ पर `vec v _(rot)` घूमते हुए निर्देश तंत्र में कण का वेग है तथा । कण का डिस्क के मध्य बिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश है।
माना कि R त्रिज्या की एक डिस्क, जिसमें व्यास के समानान्तर एक घर्षणरहित खाँचा है, एक स्थिर काणीय गति `omega` से अपने अक्ष पर वामावर्त दिशा में घूम रही है। एक निर्देश तंत्र मानिए जिसका मूलबिंदु डिस्क के मध्य बिन्दु पर है एवं x-अक्ष खाँचे के समानान्तर है, z-अक्ष खाँचे के अभिलम्ब पर है एवं -अक्ष घूमने वाली अक्ष के समानान्तर है `(vec omega = omega hatk) lm` द्रव्यमान वाले एक छोटे गुटके को समय `t=0` पर `vecr = (R//2)hat i` बिन्दु पर धीरे से इस तरह रखा जाता है कि वो सिर्फ खाँचे में ही चल सके।

समय । पर गुटके की दूरी का मान है

Options

A. `R/4 (e ^(2 omega t) + e ^(-2 omega l))`
B. `R/2 cos 2 omega t `
C. `R/2 cos omega t `
D. `R/2 (e ^(omegat ) + e ^(- omega t))`

Answer

D

Explanation

`v (dv)/(dr) = omega ^(2) r,` जहाँ v गुटके का ऊपर की तरफ वेग है।
`int _(0) ^(v ) vdv = omega ^(2) int _(r //2) ^(r ) rad`
`implies v = omega sqrt (r ^(2) - (R ^(2))/( 4 ))`
`int _( R //2) ^(r ) (dr )/( sqrt (r ^(2) - ( R ^(2))/( 4 )))= omega int _(0) ^(t) dt`
`r = (R)/(4) (e ^( omega t ) - e ^(- omega t ))`