नीचे दी गयी सूची-1 में, एक कण के चार विभिन्न पथ, समय के विभिन्न फलनों (functions) के रूप में दिये गये हैं। इन फलनों में `alpha` और `beta` उचित विमाओं वाले धनात्मक नियतांक (positive constants) हैं, जहाँ `alpha ne beta` । प्रत्येक पथ में कण पर लगने वाला बल या तो शून्य है या संरक्षी (conservative) है। सूची-II में कण की पाँच भौतिक राशियों का विवरण दिया गया है: `vecp` रेखीय संवेग (linear momentum) है,`vecL` मूल बिंदु (origin) के सापेक्ष कोणीय संवेग (angular momentum) है,Kगतिज ऊर्जा (kinetic energy) है, U स्थितिज ऊर्जा (potential energy) है और E कुल ऊर्जा (total energy) है। सूची-1 के प्रत्येक पथ का सूची-II में दिये गये उन राशियों से सुमेल कीजिये, जो उस पथ के लिए संरक्षी (conserved) हैं।

Answer

`P to 1,2,3,4,5;Q to 2,5; R 2,3,4,5; S to 5`

Explanation

`(P) vecr (t) = alpha t hati + beta t hatj`
`vecv = (d vecr (t))/( dt )= alpha hati + beta hatj ` {नियत}
`veca = (vecd v )/( dt) =0`
`vecP = m vecv` (नियत)
` k = 1/2 mv ^(2) `{नियत}
`vecF =- (del U )/( del x ) hati + (del U )/( del y) hati ]=0`
`implies U to `
` K = K +U`
`(d vecL )/( dt) =vec tau = vecr xx vecF =0`
` vecL=` नियत
(Q)` vecr = alpha cos (omega t ) hati + beta sin ( omegat) hatj`
`vecv = (d vecr )/( dt ) = 0 alpha omega sin ( omega t ) hati + beta omega cos ( omega t ) ahtj`
`veca = (dvecv)/(dt ) =- alpha omega ^(2) cos ( omega t ) hati - beta omega ^(2) sin (omega t )hatj`
` =- omega ^(2) [ alpha cos (omega t ) hati + beta sin (omega t ) hatj]`
`veca =- omega ^(2) vecr`
`vectau = vecr xx vecF =0 {vecr vecF` समान्तर ह}
`Delta U =- int vecF. dr = + int _(0) ^(r) m omega^(2) . r .dr`
`Delta U = m omega ^(2) [ (r ^(2))/( 2) ]`
`U prop r ^(2)`
`r = sqrt ( alpha ^(2) cos ^(2) (omega t ) + beta ^(2) sin ^(2) (omega t ))`
r फलन का (t ) का U निर्भर करता है r पर अतः यह समय परिवर्ती है। कुल ऊर्जा सदैव नियत रहेगी क्योकि बल नियत है।
`(R) vecr (t) = alpha (cos omega hati + sin (omega t) hatj )`
` vecv (t) = (vecdr (t))/(dt ) = alpha [-omega sin (omegat )hati + omega cos (omega t ) hatj]`
`|vecv| =alpha omega` चाल नियत रहेगी
`veca(t) = ( d vecv (t))/( dt ) = alpha [- omega ^(2) cos (omega t)hati - omega ^(2) sin (omega t ) hatj ]`
`=-alpha omega ^(2) [ cos (omega t) hati + sin (omega t ) hatj]`
`veca (t) =- omega ^(2) (vecr )`
`vectau = vecF xx vecr =0`
`|vecr| = alpha ` (नियत है)
बल केंद्रीय प्रकृति का है तथा स्थिर बिंदु से दुरी नियत है। स्थितिज ऊर्जा नियत ह। गतिज ऊर्जा भी नियत है (चाल नियत है)।
`(S) vecr = alpha t hati + (beta )/(2) t ^(2) hatj`
`vecv = (d vecr )/( dt) = alpha hati + beta t hatj ` (कण की चाल t पर निर्भर है)
`veca ( d vecv )/( dt ) = beta hat j` {नियत}
`vecF = mveca ` {नियत}
`Delta U =- int vecF. d vecr =- m int _(0) ^(t ) beta hatj . (alpha hati + beta t hatj ) dt`
`U = ( - m beta ^(2) t ^(2))/( 2)`
`k= 1/2 mv ^(2) = 1/2 m (alpha ^(2) + beta ^(2) t ^(2))`
`E = k + U = 1/2 m alpha ^(2)` [नियत]