दो एकसमान बेलनाकार पात्रों के आधार समान तल पर हैं तथा प्रत्येक पात्र का आधार क्षेत्रफल A है। प्रत्येक पात्र में समान घनत्व `rho` का द्रव अलग- अलग ऊँचाइयों `h_1` व `h_2` तक भरा हुआ है यदि दोनों पात्रों को एक-दूसरे से जोड़ दिया जाये, तब दोनों पात्रों में द्रव का तल समान करने के लिये गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य होगा

Options

A. `(h_1-h_2)grho`
B. `(h_1-h_2)gArho`
C. `1/2(h_1-h_2)^2gArho`
D. `1/4(h_1-h_2)^2gArho`

Answer

D

Explanation

माना जोड़ने के पश्चात् उभयनिष्ठ ऊँचाई h है । द्रव्यमान संरक्षण के अनुसार

`rhoA_1h_1+rhoA_2h_2=rhoh(A_1+A_2)`
`h=(h_1+h_2)/2 " " (because A_1=A_2=A)`
प्रारंम्भिक अवस्था में दोनों द्रव स्तम्भों की ऊँचाइयाँ `h_1/2` व `h_2/2` है तो प्रारंम्भिक स्थितिज ऊर्जा
`U_i=(h_1 Arho)g h_1/2+(h_2Arho)g h_2/2`
`=rhogA(h_1^2+h_2^2)/2`
जोड़ने के पश्चात् प्रत्येक स्तम्भ में द्रव के गुरुत्व केन्द्र की ऊँचाई `h/2` अर्थात् `(h_1+h_2)/4` होगी।
अन्तिम स्थितिज ऊर्जा
`U_f=[(h_1+h_2)/2 Arhog]g[(h_1+h_2)/4]`
`=Arhog[(h_1+h_2)^2/4]`
गुरुत्व द्वारा किया गया कार्य
`W=U_i-U_f=1/4 rho gA [2(h_1^2+h_2^2)-(h_1+h_2)^2]`
`=1/4rhogA[h_1-h_2]^2`