If `y=A e^(m x)+B e^(n x)`, show that `(d^2y)/(dx^2)-(m+n)(dy)/(dx)+m n y=0`

Explanation

`y=A e^(m x)+B e^(n x)`

Differentiating w.r.t. x

`dy/dx=(d(A e^(m x)+B e^(n x)))/dx`

`dy/dx=(d(A e^(m x)))/dx+(d(B e^(n x)))/dx`

`dy/dx=A.e^(m x).(d(m x))/dx+B.e^(n x).(d(nx))/dx`

`dy/dx=A.e^(m x).m+B.e^(n x).n`

`dy/dx=Ame^(m x)+Bn e^(n x)`

Again Differentiating w.r.t. x

`d/dx(dy/dx)=(d(Ame^(m x)+Bn e^(n x)))/dx`

`(d^2y)/(dx^2)=(d(Ame^(m x)))/dx+(d(Bn e^(n x)))/dx`

`(d^2y)/(dx^2)=Am(d(e^(m x)))/dx+Bn(d( e^(n x)))/dx`

`(d^2y)/(dx^2)=Am.e^(m x).(d(mx))/dx+Bn.e^(n x).(d(nx ))/dx`

`(d^2y)/(dx^2)=Am.e^(m x).m+Bn.e^(n x).n`

`(d^2y)/(dx^2)=Am^(2)e^(m x)+Bn^(2)e^(n x)`


We need to prove

`(d^2y)/(dx^2)-(m+n)(dy)/(dx)+m n y=0`


Solving L.H.S.

`(d^2y)/(dx^2)-(m+n)(dy)/(dx)+m n y`

`=(Am^2e^(mx)+Bn^2e^(nx))-(m+n)(Ame^(mx)+Bn e^(nx))+mn(Ae^(mx)+Be^(nx))`

`=Am^2e^(mx)+Bn^2e^(nx)-m(Ame^(mx)+Bn e^(nx))-n(Ame^(mx)+Bn e^(nx))+mnAe^(mx)+mnBe^(nx)`

`=Am^2e^(mx)+Bn^2e^(nx)-Am^2e^(mx)-Bmn e^(nx)-Anme^(mx)-Bn^2 e^(nx)+mnAe^(mx)+mnBe^(nx)`

`=Am^2e^(mx)-Am^2e^(mx)+Bn^2e^(nx)-Bn^2e^(nx)-Bmn e^(nx)+Bmn e^(nx)-Anme^(mx)+Anm e^(mx)`

`=0`

= R.H.S.

Hence Proved.