`I_(1)` एवं `I_(2)` जड़त्व आघूर्णों वाली दो चकतियाँ अपने-अपने अक्षों के परितः (चकती के समकोण पर तथा केन्द्र से होकर गुजरते हुए) क्रमश: `omega_(1)` एवं `omega_(2)` कोणीय चालों से घूर्णन कर रही हैं। जब उन्हें उनके घूर्णन-संपातन अक्षों (Axes of rotation coincident) के साथ आमने-सामने लाया जाता है, तो इस प्रक्रिया में निकाय (System) की गतिज ऊर्जा में हास क्या होगा?

Options

A. `(I_(1)I_(2)(omega_(1)-omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`
B. `(I_(1)I_(2)(omega_(1)-omega_(2))^(2))/((I_(1)+I_(2)))`
C. `(I_(1)I_(2)(omega_(1)-omega_(2))^(2))/((I_(1)-I_(2)))`
D. `(I_(1)I_(2)(omega_(1)-omega_(2))^(2))/(2(I_(1)-I_(2)))`

Answer

A

Explanation

माना चकती I का जड़त्व आघूर्ण `I_(1)` तथा चकती । की कोणीय चाल `omega_(1)` है।
माना चकती II का जड़त्व आघूर्ण `I_(2)` एवं चकती II की कोणीय चाल `omega_(2)` है।
चकती । का कोणीय संवेग `L_(1)=I_(1)omega_(1)` तथा चकती II का कोणीय संवेग `L_(2)=I_(2)omega_(2)` है।
`:.` दोनों चकतियों का प्रारंभिक कोणीय संवेग इस प्रकार दिया गया है- `L_(i)=I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2)`
जब दोनों चकतियां आमने-सामने से सम्पर्क में लायी जाती हैं (एक-दूसरे के शीर्ष पर) तथा उनके घूर्णन अक्ष संपातन (Coincide) कर रहे होते हैं, तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण । उनके अलग-अलग जड़त्व आघूर्णो के योग के बराबर होता है। अर्थात् `I=I_(1)+I_(2)`
माना `omega` निकाय की अंतिम कोणीय चाल है।
`:.` निकाय का अंतिम कोणीय संवेग इस प्रकार है-
`L_(f)=(I_(1)+I_(2))omega`
कोणीय संवेग संरक्षण के नियमानुसार, `L_(i)=L_(f)`
`I_(1)omega+I_(2)omega_(2)=(I_(1)+I_(2))omega`
`omega=(I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))/(I_(1)+I_(2))` ...(i)
चकती I की गति ऊर्जा, `K_(1)=(1)/(2)I_(1)omega_(1)^(2)`
चकती II की गतिज ऊर्जा, `K_(2)=(1)/(2)I_(2)omega_(2)^(2)`
`:.` दोनों चकतियों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,
`K_(i)=(1)/(2)I_(1)omega_(1)^(2)+(1)/(2)I_(2)omega_(2)^(2)`
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा, `K_(f)=(1)/(2)(I_(1)+I_(2))omega^(2)`
`=(1)/(2)(I_(1)+I_(2))((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))/(I_(1)+I_(2)))^(2)` ((i) के प्रयोग से)
`=(1)/(2)((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`
निकाय के गतिज ऊर्जा में हानि, `DeltaK=K_(i)-K_(f)`
`=(1)/(2)(I_(1)omega_(1)^(2)+I_(2)omega_(2)^(2))-((I_(1)omega_(1)+I_(2)omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`
`=(1)/(2)I_(1)omega^(2)+(1)/(2)I_(2)omega_(2)^(2)-(1)/(2)(I_(1)^(2)omega_(1)^(2))/((I_(1)+I_(2)))-(1)/(2)(I_(2)^(2)omega_(2)^(2))/((I_(1)+I_(2)))-(1)/(2)(2I_(1)I_(2)omega_(1)omega_(2))/((I_(1)+I_(2)))`
`=(1)/((I_(1)+I_(2)))[(1)/(2)I_(1)^(2)omega_(1)^(2)+(1)/(2)I_(1)I_(2)omega_(1)^(2)+(1)/(2)I_(1)I_(2)omega_(2)^(2)+(1)/(2)I_(2)^(2)omega_(2)^(2)-(1)/(2)I_(1)^(2)omega_(1)^(2)-(1)/(2)I_(2)^(2)omega_(2)^(2)-I_(1)I_(2)omega_(1)omega_(2)]`
`=(I_(1)I_(2))/(2(I_(1)+I_(2)))(omega_(1)^(2)+omega_(2)^(2)-2omega_(1)omega_(2))=(I_(1)I_(2)(omega_(1)-omega_(2))^(2))/(2(I_(1)+I_(2)))`