1 मीटर लम्बाई की एक असमान छड़ का घनत्व `rho(x) =a (1+bx^(2))` द्वारा दिया गया है जहाँ a एवं b नियतांक हैं तथा `0 le x le 1`. छड़ का द्रव्यमान केन्द्र _____ पर होगा।

Options

A. `(3(2+b))/(4(3+b))`
B. `(4(2+b))/(3(3+b))`
C. `(3(3+b))/(4(2+b))`
D. `(4(3+b))/(3(2+b))`

Answer

A

Explanation

छड़ के एक सिरे से x दूरी पर dx लम्बाई के छड़ के छोटे तत्व का द्रव्यमान है-
`dm = rho dx = a (1 + bx^(2)) dx`
छड़ का द्रव्यमान केन्द्र है-
`X_(CM)=(int_(0)^(1) x dm)/(int_(0)^(1) dm)=(int_(0)^(1) xa(1+bx^(2))dx)/(int_(0)^(1)a(1+bx^(2))dx)`
`=(int_(0)^(1)(x+bx^(3))dx)/(int_(0)^(1)(1+bx^(2))dx)=([(x^(2))/(2)+(bx^(4))/(4)]_(1)^(0))/([x+(bx^(3))/(3)]_(0)^(1))`
`=([(1)/(2)+(b)/(4)])/([1+(b)/(3)])=(3)/(4)((2+b))/((3+b))`