समान द्रव्यमान m के छः बिन्दु द्रव्यमान, l भुजा वाले समषट्कोण के शीर्ष पर स्थित हैं। इनमें से किसी भी द्रव्यमान पर कार्यरत बल है-

Options

A. `(Gm^2)/l^2 [5/4+1/sqrt3]`
B. `(Gm^2)/l^2 [3/4 + 1/sqrt3]`
C. `(Gm^2)/l^2 [5/4-1/sqrt3]`
D. `(Gm^2)/l^2 [3/4-1/sqrt3]`

Answer

A

Explanation

चित्र से,
AC=AM+MC=2AM=2l cos `30^@ =2l sqrt3/2 =sqrt3l`
इसी प्रकार, `AE=sqrt3l`
AD=AO+ON+ND=l sin `30^@`+l+sin `30^@`
`=l xx 1/2 + l xx 1/2 =2l`
AB=AF=l
B पर द्रव्यमान m के कारण A पर द्रव्यमान m पर बल है -
`F_(AB)=(Gmm)/(AB)^2=(Gmm)/l^2` AB के अनुदिश
C पर द्रव्यमान m के कारण A पर द्रव्यमान m पर बल है-
`F_(AC)=(Gmm)/(AC)^2=(Gmm)/(sqrt3l)^2 =(Gm^2)/(3l^2)` AC के अनुदिश
D पर द्रव्यमान m के कारण A पर द्रव्यमान m पर बल है
`F_(AD)=(Gmm)/(AD)^2=(Gmm)/(2l)^2=(Gm^2)/(4l^2)` AD के अनुदिश
E पर द्रव्यमान m के कारण A पर द्रव्यमान m पर बल है-
`F_(AE)=(Gmm)/(AE)^2=(Gmm)/(sqrt3l)^2=(Gm^2)/(3l^2)` AE के अनुदिश
F पर द्रव्यमान के कारण A पर द्रव्यमान m पर बल है
`F_(AF)=(Gmm)/(AF)^2=(Gm^2)/l^2` AF के अनुदिश
`F_(AB)` एवं `F_(AF)` के कारण परिणामी बल है-
`F_(R_1)=sqrt(F_(AB)^2+F_(AB)^2+2F_(AB)F_(AF)cos 120^@)`
`=sqrt(("Gm"^2/l^2)^2+("Gm"^2/l^2)^2+2("Gm"^2/l^2)("Gm"^2/l^2)(-1/2))`
`=(Gm^2)/l^2` AD के अनुदिश
`F_(AC)` एवं `F_(AE)` के कारण परिणामी बल है-
`F_(R_2)=sqrt(F_(AC)^2+F_(AE)^2+2F_(AC)F_(AE)cos60^@)`
`=sqrt(("Gm"^2/"3l"^2)^2+("Gm"^2/"3l"^2)^2+2("Gm"^2/"3l"^2)("Gm"^2/"3l"^2)(1/2))`
`=(sqrt3Gm^2)/(3l^2)=(Gm^2)/(sqrt3l^2)` AD के अनुदिश
AD के अनुदिश AD के अनुदिश द्रव्यमान m पर नेट बल है-
`F_R=F_(R_1)+F_(R_2)+F_(AD)=(Gm^2)/l^2+(Gm^2)/(sqrt3l^2)+(Gm^2)/(4l^2)`
`=(Gm^2)/l^2 [1+1/sqrt3+1/4]=(Gm^2)/l^2 [5/4+1/sqrt3]`