समान त्रिज्या R के दो एकसमान ठोस गोले, लेकिन जिनके द्रव्यमान M एवं 4M हैं, का केंद्र से केंद्र पृथक्करण (Centre to centre separation) 6R है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। m द्रव्यमान के किसी प्रक्षेप को M द्रव्यमान के गोले की सतह से सीधे ही दूसरे गोले के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेप की वह न्यूनतम चाल क्या होगी जिससे वह दूसरे गोले की सतह पर पहुँच सके?

Options

A. `sqrt(4/5 "GM"/ "R")`
B. `sqrt(5/4 "GM"/"R")`
C. `sqrt(3/5 "GM"/"R")`
D. `sqrt(5/3 "GM"/"R")`

Answer

C

Explanation

माना किसी m द्रव्यमान के प्रक्षेप को 4M द्रव्यमान वाले गोले की सतह पर पहुंचाने के लिए M द्रव्यमान के गोले की सतह से न्यूनतम v वेग से छोड़ा गया है। माना कि M द्रव्यमान के गोले के केंद्र से r दूरी पर N उदासीन बिन्दु है।

उदासीन बिन्दु N पर,
`(GMm)/r^2=(G(4M)m)/(6R-r)^2`
`(6R-r)^2=4r^2`
`6R-r= pm 2r` या r=2R या -6R
बिन्दु r=-6R हमसे संबंधित नहीं है।
इस प्रकार, ON=r=2R
प्रक्षेपण (Projectile) को उस चाल से प्रक्षेपित करना पर्याप्त है जो उसे N पर पहुंचने में समर्थ बना दे। इसके पश्चात् 4M का बृहत्तर गुरुत्वीय बल पर्याप्त होगा।
M की सतह पर यांत्रिक ऊर्जा होती है
`E_i=1/2mv^2-(GMm)/R-(G(4M)m)/(5R)`
उदासीन बिन्दु N पर, चाल शून्य की ओर होती है।
`therefore` N पर यांत्रिक ऊर्जा है,
`E_N=-(GMm)/(2R)-(G(4M)m)/(4R)=-(GMm)/(2R)-(GMm)/R`
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियमानुसार,
`E_i=E_N`
`1/2 mv^2-(GMm)/R-(4GMm)/(5R)=-(GMm)/(2R)-(GMm)/R`
`v^2=(2GM)/R [4/5-1/2]=3/5 (GM)/R` या `v=(3/5 (GM)/R)^(1//2)`