किसी प्रक्षेप को पृथ्वी की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर `kv_e` वेग से छोड़ा जाता है, जहाँ `v_e` पलायन वेग है तथा k `lt` 1 वायु के प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए, पृथ्वी के केंद्र से वह अधिकतम दूरी जहाँ तक यह पहुँचेगा, वह है ( `R_E` = पृथ्वी की त्रिज्या) -

Options

A. `R_E/(1-k^2)`
B. `R_E/k^2`
C. `(1-k^2)/R_E`
D. `k^2/R_E`

Answer

A

Explanation

माना कि किसी प्रक्षेप को धरती की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर v वेग से दागा जाता है तथा वह h उँचाई तक पहुंचता है। पृथ्वी की सतह पर प्रक्षेप की ऊर्जा
`E_i=1/2mv^2-(GM_Em)/R_E`
h ऊंचाई पर प्रक्षेप की ऊर्जा, `E_f=-(GM_Em)/(R_E+h)` (`because` h ऊँचाई पर प्रक्षेप का वेग शून्य होता है)
ऊर्जा संरक्षण के नियमानुसार, `E_i=E_f`
`1/2mv^2-(GM_Em)/R_E =-(GM_Em)/(R_E+h)`
`1/2mv^2=GM_E m [1/R_E-1/(R_E+h)]=(GM_E mh)/((R_E)(R_E+h))`
`1/2mv^2=(mghR_E)/(R_E+h) " " (because g=(GM_E)/R_E^2)`
प्रश्नानुसार, `v=kv_e=ksqrt(2gR_E) (because v_e=sqrt(2gR_E))` तथा `h=r-R_E`
`therefore 1/2mk^2 2gR_E=(mg(r-R_E)R_E)/r`
`k^2=(r-R_E)/r rArr (1-k^2)r=R_E rArr r =R_E /(1-k^2)`