m द्रव्यमान, L लम्बाई, A अनुप्रस्थ-काट के क्षेत्रफल की एकसमान छड़ को इसके किसी एक सिरे से गुजरने वाले अक्ष के परितः एवं इसकी लंबाई के लंबवत् क्षैतिज तल में नियत कोणीय वेग `omega` घुमाया जाता है। यदि Y छड़ के पदार्थ का यंग गुणांक है, तो छड़ के घुमाने के कारण इसकी लंबाई में वृद्धि होगी-

Options

A. `(m omega^2L^2)/(AY)`
B. `(momega^2L^2)/(2AY)`
C. `(momega^2L^2)/(3AY)`
D. `(2momega^2L^2)/(AY)`

Answer

C

Explanation

माना घूर्णन अक्ष से x दूरी पर dx लम्बाई का एक छोटा तत्व है।
तत्व का द्रव्यमान, `dm = m/L dx = mu dx`
जहाँ `mu=m/L`
तत्व पर कार्यरत अपकेन्द्र बल, `dT = dmomega^2x = muomega^2x dx`
चूँकि यह बल छड़ में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है (प्रत्यास्थता के कारण), इसलिए घूर्णन अक्ष से x दूरी पर छड़ में तनाव x=x सेx-L के मध्य सभी तत्वों के कारण अपकेन्द्र बल के द्वारा होगा।
`therefore T=int_x^L mu omega^2 x dx =(muomega^2)/2 [L^2-x^2]`...(i)
माना dl तत्व की लम्बाई में वृद्धि है तो
`Y=(T//A)/(dl//dx)`
`dl=(Tdx)/(YA)=(muomega^2)/(2YA)[L^2-x^2]dx` इसलिए सम्पूर्ण छड़ का कुल विस्तार है-
`l=int_0^L (muomega^2)/(2YA)[L^2-x^2]dx=(muomega^2)/(2YA)[L^2x-x^3/3]_0^L`
`=1/3 (muomega^2L^3)/(YA)=1/3(momega^2L^2)/(YA)`