एक समबाहु त्रिभुज ABC दो Cu की छड़ों AB व BC एवं एक Al की छड़ द्वारा बना है। उसे इस प्रकार से गर्म किया जाता है कि प्रत्येक छड़ का तापमान `DeltaT` बढ़ जाए। कोण ABC में क्या परिवर्तन होगा?
(यहाँ, Cu का रेखीय प्रसार गुणांक `alpha_1` है, Al का रेखीय प्रसार गुणांक `alpha_2` है)

Options

A. `sqrt3/2(alpha_2-alpha_1)DeltaT`
B. `2/sqrt3(alpha_2-alpha_1)DeltaT`
C. `1/sqrt3(alpha_2-alpha_1)DeltaT`
D. `1/2 (alpha_2-alpha_1)DeltaT`

Answer

B

Explanation

चित्र में दर्शाए अनुसार स्थिति है।
माना `AB = L_1, AC = L_2` एवं `BC = L_3` कोसाइन सूत्र के अनुसार,

`L_2^2=L_1^2+L_3^2-2L_1L_3 cos theta`
`cos theta =(L_1^2+L_3^2-L_2^2)/(2L_1L_3)`
`2L_1L_3 cos theta =L_1^2+L_3^2-L_2^2`
दोनों ओर अवकलन करने पर,
`2[L_1dl_3+L_3dl_1]cos theta -2L_1L_3 sin theta d theta = 2L_1dL_1+2L_3dL_3-2l_2dL_2`
`(L_1dL_3+L_3dL_1)cos theta - L_1L_3 sin theta d theta =L_1dL_1 + L_3dL_3 - L_2dL_2`....(i)
यहाँ, `L_1=L_2=L_3=L`
`therefore dL_1=Lalpha_1DeltaT`
`dL_2=L alpha_2 DeltaT`
`dL_3=L alpha_1DeltaT`
समीकरण (i) में इन मानों को रखने पर
`[L^2 alpha_1DeltaT+L^2alpha_1DeltaT]cos theta - L^2 sin theta d theta =L^2 alpha_1DeltaT+L^2alpha_1DeltaT-L^2alpha_2DeltaT]`
`sin theta d theta = 2 alpha_1 DeltaT cos theta -2alpha_1 DeltaT+alpha_2DeltaT`
`=2alpha_1DeltaT(cos theta -1) + a_2 DeltaT`
`theta=60^@` के प्रयोग से,
`sqrt3/2d theta =2 alpha_1 DeltaT(1/2-1)+alpha_2DeltaT=-alpha_1DeltaT+alpha_2DeltaT`
`d theta =2/sqrt3(alpha_2-alpha_1)DeltaT`