R त्रिज्या के पतले अर्द्धवलय पर q आवेश एकसमान रूप से वितरित है | वलय के केन्द्र पर विद्युत क्षेत्र है

Options

A. `(q)/(2pi^(2)epsilon_(0)R^(2))`
B. `(q)/(4piepsilon_(0)R^(2))`
C. `(q)/(4piepsilon_(0)R^(2))`
D. `(q)/(2piepsilon_(0)R^(2))`

Answer

A

Explanation

चित्र से `dl=R d theta,dl` पर आवेश `=lambdaR d theta" "{lambda=(q)/(piR)}`

केंद्र पर dl भाग के कारण विद्युत क्षेत्र यदि एक समान एवं सममित अल्पांश dl . और लिया जाये तो dl और dl . दोनों भागों के कारण केंद्र पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के घटक `dE sin theta` एक दूसरे को निरस्त कर देंगे एवं इनके `dE cos theta` , घटक जुड़ जायेंगे |
अतः केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र `=2int_(0)^(pi//2)E cos theta`
`=(2k lambda)/(R )int_(0)^(pi//2)cos theta d theta=(2klambda)/(R )=(q)/(2pi^(2)epsilon_(0)R^(2))`
दूसरी विधि : जैसा कि हम जानते है, किसी निश्चित लम्बाई के आवेशित तार के कारण उसके लम्बार्द्धक पर विद्युत क्षेत्र
`E=(2klambda)/(R )sin theta`
यदि इसे अर्द्धवृत्ताकार रूप में मोड़ दिया जाये तब
`theta=90^(@)`
`Rarr E=(2klambda)/(R )`
`=2xx(1)/(4piepsilon_(0))((q//piR)/(R ))`
`=(q)/(2pi^(2)epsilon_(0)R^(2))`