जब एक कण को x-अक्ष पर, x = 30 से x = a तक, जहाँ नैनोमीटर के आस-पास है, चलने के लिए सीमित किया जाता है, तब इस कण की ऊर्जा के कुछ विशेष मान ही हो सकते हैं | इस सीमित क्षेत्र में गति करते कण की संभव ऊर्जाएँ इस क्षेत्र में बनने वाली ऐसी अप्रगामी तरंगों से सम्बन्धित हैं, जिनके लिये x = 0 और x = a पर निस्पन्द बन रहे हों | इन अप्रगामी तरंगों का तरंगदैर्ध्य, इस कण के रेखीय संवेग से डी-ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार संबंधित है | द्रव्यमान m के कण की ऊर्जा एवं इसके रेखीय संवेग के बीच सम्बंध है, `E=(p^(2))/(2m)` अतः कण की ऊर्जा को एक क्वाण्टम संख्या 'n' जिसके मान 1,2,3, ( n=1 को मूल अवस्था कहते हैं) हो सकते हैं, के द्वारा दर्शाया जा सकता है | इस संख्या का सम्बन्ध अप्रगामी तरंगों में बन रहे लूपों की संख्या से है |
उपरोक्त मॉडल की सहायता से निम्नलिखित तीन प्रश्न हल करें, जब कण x = 0 से x - a तक एक रेखा पर चल रहा है | `(h = 6.6xx10^(-34)Js" और "e = 1.6xx10^(-19)C" लें ")`
n के किसी एक मान के लिए कण की संभव ऊर्जा समानुपाती है

Options

A. `a^(-2)`
B. `a^(-3//2)`
C. `a^(-1)`
D. `a^(2)`

Answer

A

Explanation

`E=(p^(2))/(2), p(h)/(lambda) rArr E=(h^(2))/(2mlambda^(2))`
अप्रगामी तरंगों के लिए, `lambda=(2a)/(n)`
`rArr E=(h^(2)n^(2))/(8ma^(2)) rArr E prop a^(-2)`.