Evaluate: `(i)lim_(xrarr0)((e^(-x)-1)/(x))(ii)lim_(xrarr0)((e^(x)-e^(-x))/(x))(iii)lim_(xrarr0)((e^(x)+e^(-x)-2)/(x^(2)))`

Explanation

`(i)lim_(xto0)((e^(-x)-1)/(x))=lim_(yto0)((e^(2)-1)/(-y)),where -x=y`
`=-lim_(yto0)((e^(y)-1)/(y))=-1" "[becauselim_(yto0)((e^(y)-1)/(y))=1].`
`(ii) lim_(xto0)((e^(3)-e^-x)/(x))=lim_(xto0){((e^(x)-1)-(e^(-x)-1))/(x)}`
`=lim_(xto0){((e^(x)-1)/(x))-((e^(-x)-1)/(x))}`
`=lim_(xto0)((e^(x)-1)/(x))-lim_(xto0)((e^(-x)-1)/(x))`
`=1-lim_(yto0)((e^(y)-1)/(-y)),`
where `-x=y[becauselim_(xto0)((e^(y)-1)/(x))=1]`
`=1+lim_(yto0)((e^(y)-1)/(y))=(1+1)=2[becauselim_(yto0)((e^(y)-1)/(y))=1].`
`(iii) lim_(xto0)((e^(x)+e^(-x)-2)/(x^(2)))=lim_(xto0)((e^(2)+1-2e^(x))/(x^(2)e^(x)))`
`=lim_(xto0){((e^(x)-1)/(x))^(2).(1)/(e^(x))}`
`=lim_(xto0)((e^(x)-1)/(x))^(2).lim_(xto0)(1)/(e^(x))`
`=(1^(2)xx(1)/(e^(0)))=(1xx1)=1" "[becauselim_(xto0)((e^(x)-1)/(x))=1].`