Evaluate: `(i)lim_(xrarr0)(sin2x)/(x)(ii)lim_(xrarr0)(sin3x)/(5x)(iii)lim_(xrarr0)((sinax)/(sinbx))`

Explanation

`(i)lim_(xto0)(sin2x)/(x)=lim_(xto0)((2xxsin2x)/(2x))`
`=2.lim_(2xto0)(sin2x)/(2x)" "[becausewhen x to0 then2x to 0]`
`=(2xx1)=2" "[becauselim_(thetato0)(sin theta)/(theta)=1].`
(ii) `lim_(xto0)(sin3x)/(5x)=lim_(xto0)((3)/(5).(sin3x)/(3x))`
`=3/5.lim_(3xto0)(sin3x)/(3x)" "[becausewhen x to0then 3x to0]`
`=((3)/(5)xx1)=3/5" "[becauselim_(thetato0)(sintheta)/(theta)=1].`
(iii) `lim_(xto0)((sinax)/(sinbx))=lim_(x to0)(ax.((sinax)/(ax)))/(bx.((sinbx)/(by)))`
`=a/b.lim_(ato0)(((sinax)/(ax)))/(((sinbx)/(bx)))`
`=a/b.(lim_(axto0)(sinax)/(ax))/(lim_(bxto0)(sinbx)/(bx))" "[becausexto0impliesaxto0andbxto0]`
`=((a)/(b)xx(1)/(1))=a/b" "[becauselim_(thetato0)(sintheta)/(theta)=1].`