Evaluate: `(i)lim_(xrarr(pi)/(2))(sec x-tanx)" "(ii)lim_(xrarr0)((cosecx-cotx))/(x)`

Explanation

`(i) lim_(xto(pi)/(2))(sec x-tanx)=lim_(x to(pi)/(2))((1)/(cosx)-(sinx)/(cosx))`
`=lim_(x to (pi)/(2))((1-sinx))/(cosx)=lim_(xto(pi)/(2))((1-sinx)cosx)/(cos^(2)x)`
`=lim_(x to (pi)/(2))((1-sinx)cosx)/((1-sin^(2)x))`
`=lim_(x to(pi)/(2))(cosx)/((1+sinx))=0" "["putting"x=(pi)/(2)].`
(ii) `lim_(x to0)((cosecx-cot x))/(x)=lim_(xto0)(((1)/(sinx)-(cosx)/(sinx)))/(x)`
`=lim_(xto0)((1-cosx))/(xsinx)=lim_(xto0)((1-cosx)sinx)/(xsin^(2)x)`
`=lim_(xto0)((1-cosx)sinx)/(x(1-cos^(2)x))=lim_(xto0)(sinx)/(x(1+cosx))`
`=lim_(xto0)(sinx)/(x).lim_(xto0)(1)/((1+cosx))=(1xx(1)/(2))=1/2.`