Evaluate the following limits:
`lim_(xrarr(pi)/(4))(1-tanx)/(1-sqrt2sinx)`

Answer

2

Explanation

Given limit `=lim_(xto(pi)/(4))(cosx-sinx)/(cosx.{(1)/(sqrt2)-sinx})=lim_(xto(pi)/(4))(sqrt2{(1)/(sqrt2)cosx-(1)/(sqrt2)sinx})/(sqrt2cosx(sin""(pi)/(4)-sinx))`
`=lim_(xto(pi)/(4))({sin""(pi)/(4)cosx-cos""(pi)/(4)sinx})/(cosx(sin""(pi)/(4)-sinx))`
`=lim_(xto(pi)/(4))(sin((pi)/(4)-x))/(cosx.2cos((pi)/(8)+(x)/(2))sin((pi)/(8)-(x)/(2)))`
`=lim_(xto(pi)/(4))(2sin((pi)/(8)-(x)/(2))cos((pi)/(8)-(x)/(2)))/(cosx. 2cos((pi)/(8)+(x)/(2))sin((pi)/(8)-(x)/(2)))=lim_(xto(pi)/(4))(cos((pi)/(8)-(x)/(2)))/(cosx.cos((pi)/(8)+(x)/(2)))`
`=(cos((pi)/(8)-(pi)/(8)))/(cos""(pi)/(4),cos""((pi)/(8)+(pi)/(8)))=(cos0)/((cos""(pi)/(4))^(2))=(1)/(((1)/(sqrt2))^(2))=2.`