एक सुरंग जिसकी त्रिज्या R है , पृथ्वी के केन्द्र से जाती है सुरंग में एक गेंद h ऊँचाई से गिराई जाती है। इसकी गति सरल आवर्त गति होगी इसका आवर्तकाल है

Options

A. `2pisqrt((R )/(g))+4sqrt((h)/(g))`
B. `2pisqrt((R )/(g))+4sqrt((2h)/(g))`
C. `2pisqrt((R )/(g))+sqrt(((h)/(g)))`
D. `2pisqrt((R )/(g))+sqrt(((2h)/(g)))`

Answer

B

Explanation

जब m द्रव्यमान की गेंद को h ऊँचाई से गिराया जाता है , तो वह पृथ्वी के तल पर `t=sqrt(2h//g)` समय में पहुँचती है। इसका वेग `v=sqrt(2gh)` है। यह सुरंग में चलकर पृथ्वी के दूसरे भाग पर पहुँचती है तथा पृथ्वी के तल से h ऊँचाई पर पहुँच जाती है। अब गेंद वापस सरल आवर्त गति करती हुई आती है। पृथ्वी तल से बाहर h दुरी को 4 बार पार करती है।
जब सुरंग में गेंद पृथ्वी के केंद्र से x दुरी पर है , तब गेंद पर लगाने वाला गुरुत्वीय बल है
`F=(Gm)/(x^(2))xx((4)/(3)pix^(2)rho)=Gxx((4)/(3)pirho)mx`
पृथ्वी का द्रव्यमान , `M=(4)/(3)piR^(2)rho`
या `(4)/(3)pirho=(M)/(R^(3))`
`:. F=(GMmx)/(R^(3))`
अतः `F prop x`
यह बल F पृथ्वी के केन्द्र की ओर निर्देशित है इसलिए गेंद पृथ्वी के केन्द्र के चारो ओर आवर्त गति करती है
यहाँ जड़त्व गुणक `=` गेंद का द्रव्यमान `=m`
स्प्रिंग गुणांक `=(GMm)/(R^(3))=(gm)/(R)`
`:.` सुरंग से गेंद के दोलनों का आवर्तकाल
`T=2pi("जड़त्व गुणांक")/("स्प्रिंग गुणांक")`
`2pisqrt((m)/(gm//R))=pisqrt((R)/(g))`
सुरंग के दोनों सिरों पर बाहर निकलने के लिए गेंद समय लेगी
`=4sqrt(2h//g)`
अर्थात गेंद के दोलनों का कुल आवर्तकाल
`=2pisqrt((R)/(g))+4sqrt((2h)/(g))`