दिखाईए की सार्धिक `|{:(,(y+z)^(2),xy,zx),(,xu,(x+z)^(2),yz),(,xz,yz,(x+y)^(2)):}|=2xyz(x+y+z)^(3)`

Explanation

माना
`Delta=|((y+z)^(2),xy,zx),(xy,(x+z)^(2),yz),(xz,yz,(x+y)^(2))|`
संक्रियाओं `R_(1)rarrxR_(1),R_(2)rarryR_(2),R_(3)rarrzR_(3)` से हम पाते है
`Delta=(1)/(xyz)|(x(y+z)^(2),x^(2)y,x^(2)z),(xy^(2),y(x+z)^(2),y^(2)z),(xz^(2),yz^(2),z(x+y)^(2))|`
`C_(1),C_(2),C_(3)` से क्रमशः x, y, z उभयनिष्ठ बाहर लेने पर, हम पाते है
`Delta=(xyz)/(xyz)|((y+z)^(2),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2))|`
`|((y+z)^(2),x^(2),x^(2)),(y^(2),(x+z)^(2),y^(2)),(z^(2),z^(2),(x+y)^(2))|`
संक्रियाओं `C_(1)rarrC_(1)-C_(3)` और `C_(2)rarrC_(2)-C_(3)` से, हम पाते है
`Delta=|((y+z)^(2)-x^(2),0,x^(2)),(0,(x+z)^(2)-y^(2),y^(2)),(z^(2)-(x+y)^(2),z^(2)-(x+y)^(2),(x+y)^(2))|`
`=|((y+z+x)(y+z-x),0,x^(2)),(0,(x+z+y)(x+z-y),y^(2)),((z+x+y)(z-x-y),(z+x+y)(z-x-y),(x+y)^(2))|`
`C_(1)` और `C_(2)` प्रत्येक से (x+y+z) उभयनिष्ठ बाहर लेने पर, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2) |(y+z-x,0,x^(2)),(0,x+z-y,y^(2)),(z-x-y,z-x-y,(x+y)^(2))|`
संक्रिया `R_(3)rarrR_(3)-R_(1)-R_(2)` से, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2) |(y+z-x,0,x^(2)),(0,x+z-y,y^(2)),(-2y,-2x,2xy)|`
संक्रियाओं `C_(1)rarrC_(1)+(1)/(x)C_(3),C_(2)rarrC_(2)+(1)/(y)C_(3)` से, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2)|(y+z,(x^(2))/(y),x^(2)),((y^(2))/(x),x+z,y^(2)),(0,0,2xy)|`
`R_(3)` के अनुदिश विस्तार करने पर, हम पाते है
`=(x+y+z)^(2)2xy|(y+z,(x^(2))/(y)),((y^(2))/(x),x+z)|`
`=2xy(x+y+z)^(2)[(y+z)(x+z)-(y^(2))/(x)(x^(2))/(y)]`
`=2xy(x+y+z)^(2)(yz+zx+z^(2))`
`=2xyz(x+y+z)^(2)(x+y+z)`
`=2xyz(x+y+z)^(3)`