यदि `a+b+c ne 0` और `|{:(,a,b,c),(,b,c,a),(,c,a,b):}|=0` तब सरणिको के गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिएः की

Explanation

`Delta=|(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)|`
संक्रिया `R_(1)rarrR_(1)+R_(2)+R_(3)` से,
`=|(a+b+c,a+b+c,a+b+c),(b,c,a),(c,a,b)|`
`=(a+b+c)|(1,1,1),(b,c,a),(c,a,b)|`
[`R_(1)` से बाहर लेने पर]
संक्रिया `C_(2)rarrC_(2)-C_(1)` तथा `C_(3)rarrC_(3)-C_(1)` से,
`=(a+b+c)|(1,0,0),(b,c-b,a-b),(c,a-c,b-c)|`
`=(a+b+c)|(c-b,a-b),(a-c,b-c)|`
[`R_(1)` के अनुदिश विस्तार करने पर]
`=(a+b+c){(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)}`
`=(a+b+c)(bc-c^(2)-b^(2)+bc-a^(2)+ab+ca-bc)`
`(a+b+c)(ab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2))`
`therefore Delta=0`
`implies(a+b+c)(ab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2))=0`
`impliesab+bc+ca-a^(2)-b^(2)-c^(2)=0[because a+b+cne0]`
`impliesa^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca=0`
`implies2a^(2)+2b^(2)+2c^(2)-2ab-2bc-2ca=0`
`implies (a^(2)+b^(2)-2ab)+(b^(2)+c^(2)-2bc)+(c^(2)+a^(2)-2ca)=0`
`implies(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0`
`impliesa-b=0,b-c=0,c-a=0`
`impliesa=b,b=c,c=a`
`impliesa=b=c`