सरणिको के गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिएः की `|{:(,1,x,x^(2)),(,x^(2),1,x),(,x,x^(2),1):}|=(1-x^(3))^(2)`

Explanation

`Delta=|(1,x,x^(2)),(x^(2),1,x),(x,x^(2),1)|`
संक्रिया `C_(2)rarrC_(2)-C_(1)` व `C_(3)rarrC_(3)-C_(1)` से,
`Delta=|(1,x-1,x^(2)-1),(x^(2),1-x^(2),x-x^(2)),(x,x^(2)-x,1-x)|`
`=|(1,x-1,(x-1)(x+1)),(x^(2),(1-x)(1+x),x(1-x)),(x,x(x-1),1-x)|` `C_(2)` व `C_(3)` प्रत्येक में से (x-1) बाहर लेने पर,
`=(x-1)^(2)|(1,1,x+1),(x^(2),-(1+x),-x),(x,x,-1)|`
संक्रिया `R_(1)rarrR_(1)+R_(2)+R_(3)` से,
`=(x-1)^(2)|(1+x+x^(2),0,0),(x^(2),-(1+x),-x),(x,x,-1)|`
`R_(1)` के अनुदिश विस्तार करने पर,
`=(x-1)^(2)(1+x+x^(2))|(-(1+x),-x),(x,-1)|`
`=(x-1)^(2)(1+x+x^(2))(1+x+x^(2))`
`=(x-1)^(2)(1+x+x^(2))^(2)`
`={(x-1)(1+x+x^(2))}^(2)=(x^(3)-1)^(2)`
`(1-x^(3))^(2)`