prove that `|{:((a-x)^(2),,(a-y)^(2),,(a-z)^(2)),((b-x)^(2),,(b-y)^(2),,(b-z)^(2)),((c-x)^(2),,(c-y)^(2),,(c-z)^(2)):}|`
`|{:((1+ax)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cx)^(2)),((1+ay)^(2),,(1+by)^(2),,(1+cy)^(2)),((1+az)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cz)^(2)):}|`
`=2 (b-c)(c-a)(a-b)xx (y-z) (z-x)(x-y)`

Explanation

` Delta=|{:((a-x)^(2),,(a-y)^(2),,(a-z)^(2)),((b-x)^(2),,(b-y)^(2),,(b-z)^(2)),((c-x)^(2),,(c-y)^(2),,(c-z)^(2)):}|`
`|{:(a^(2)-2ax+x^(2),,b^(2)-2bx+x^(2),,c^(2)-2cx+x^(2)),(a^(2)-2ay+y^(2),,b^(2)-2by+y^(2),,c^(2)-2cy+y^(2)),(a^(2)-2az+z^(2),,b^(2)-2bz+z^(2),,c^(2)-2cz+z^(2)):}|`
`= |{:(1,,x,,x^(2)),(1,,y,,y^(2)),(1,,z,,z^(2)):}|xx|{:(a^(2),,-2a,,1),(b^(2),,-2b,,1),(c^(2),,-2c,,1):}|`
`=- |{:(1,,x,,x^(2)),(1,,y,,y^(2)),(1,,z,,z^(2)):}||{:(a^(2),,2a,,1),(b^(2),,2b,,1),(c^(2),,2c,,1):}|`
`= |{:(1,,x,,x^(2)),(1,,y,,y^(2)),(1,,z,,z^(2)):}||{:(1,,2a,,a^(2)),(1,,2b,,b^(2)),(1,,2c,,c^(2)):}|" "" (in second determinant)"(C_(1) hArr C_(2))`
`=|underset(1" "z" "z^(2))underset(1" "y" "y^(2))(1" "x" "x^(2))|xx|underset(1" "2c" "c^(2))underset(1" "2b" "b^(2))(1" "2a" "a^(2))|`
`=2(x-y)(y-z)(z-x)(a-b)(b-c) (c-a)`
Applying row by row we get
`|{:(1+2ax+a^(2)x^(2),,1+2bx+b^(2)x^(2),,1+2cx+c^(2)x^(2)),(1+2ay+a^(2)y^(2),,1+2by+b^(2)y^(2),,1+2cy+c^(2)y^(2)),(1+2az+a^(2)z^(2),,1+2bz+b^(2)z^(2),,1+2cz+c^(2)z^(2)):}|`
` =|{:((1+ax)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cx)^(2)),((1+ay)^(2),,(1+by)^(2),,(1+cy)^(2)),((1+az)^(2),,(1+bx)^(2),,(1+cz)^(2)):}|`