यदि फलन `f(x)=-4e^((1-x)/(2))+1+x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)` तथा `g(x)=f^(-1)(x)`, हो , तो `g'((-7)/(6))` का प्रतिलोम है

Answer

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Explanation

`f(x)=-4e^((1-x)/(2))+1+x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)`
दिया है `g(x)=f^(-1)(x)`
इसे हम कह सकते हैं `" "g[f(x)]=x`......(i)
हमें ज्ञात करना है `g'(-7/6 )` इसके लिए पहले `g' ` ज्ञात करेंगे

समी (i) का अवकलन करने पर
`g'[f(x)]f'(x)=1`
`g'[f(x)]=1/(f'(x))`......(ii)
अब हमें `f(x)`

`=-7/6` चाहिए तभी `g'((-7)/(6))` प्राप्त हो पाएगा
अर्थात `f(x)=-4e^((1-x)/(2))+1+x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)``=-7/6` चाहिए
यहाँ आप देखिए अगर हमें `-7/6` चाहिए तो चरघातांकी फलन `e` को हटाना पड़ेगा इसे `1 `के बराबर लाना होगा
`e^0 ` के लिए `(1-x )/2=0 ` करेंगे
अर्थात `x =1 ` होगा
`x =1 `रखने पर `f (1 )=-4e^((1-1)/(2))+1+1+(1^(2))/(2)+(1^(3))/(3)`

`=-7/6`

अतः समी (ii) से
`g'((-7)/(6))=1/(f'(1))`....(iii)
चूंकि `f(x)=-4e^((1-x)/(2))+1+x+(x^(2))/(2)+(x^(3))/(3)`

`f'(x)= -4e^((1-x)/2)*(-1/2)+0+1+x+x^2`

`f'(1)= -4e^((1-1)/2)(-1/2)+0+1+1+1^2`

`f'(1)=(-4)*(-1/2)+3`

`f'(1)=5`
समी (iii)से
`g'((-7)/(6))=1/(f'(1))=1/5 `