माना फलन `f(x)= {:{("sgn" (x) + x,-oo lt x lt 0),(-1 + sin x,0 le x lt (pi)/(2)),(cos x,(pi)/(2) le x lt oo):}` है। बिंदु `x=0` तथा `x=pi/2` पर संततता तथा अवकलनीयता की जाँच कीजिये।

Explanation

दिया हैं,

`f(x)= {:{("sgn" (x) + x,-oo lt x lt 0),(-1 + sin x,0 le x lt (pi)/(2)),(cos x,(pi)/(2) le x lt oo):}`

चूँकि हम जानते हैं की चिन्ह फलन (sgn function) `x` के ऋणात्मक मान के लिए `sgn (x) = -1` होगा|

अतः `f(x)= {:{(-1 + x,-oo lt x lt 0),(-1 + sin x,0 le x lt (pi)/(2)),(cos x,(pi)/(2) le x lt oo):}`

संतत होने के लिए, `x =a` के लिए
यदि `LHL= RHL = f(a)` हो , तो `x =a` पर फलन संतत होगा|

`x = 0` पर संततता की जांच,

`LHL`, इस स्थिति में `x lt 0`, `:.f(x) = (-1 + x)`

`LHL = lim_(xto0^(-))f(x)`

`LHL = lim_(xto0^(-))(-1 + x)`

`LHL = (-1 + 0)`

`LHL = -1`

अब `RHL`, इस स्थिति में इस स्थिति में `xgt0` `:. f(x) = (-1 + sin x)`

`RHL = lim_(xto0^(+))f(x)`

`RHL = lim_(xto0^(+))(-1 + sin x)`

`RHL = (-1 + sin 0)`

`RHL = -1`

अब `x = 0` पर `f(x) = (-1 + sin x)`

`:.f(0) = (-1 + sin 0)`

`f(0) = -1`

स्पष्ट है कि, `LHL= RHL = f(0)` हैं|

अतः `x = 0` पर फलन संतत होगा|


`x = pi/2` पर संततता की जांच

`LHL`, इस स्थिति में, `x lt (pi)/(2) ``:.f(x) = (-1 + sin x)`

`LHL = lim_(xto(pi/2)^(-))f(x)`

`LHL = lim_(xto(pi/2)^(-))(-1 + sin x)`

`LHL = (-1 + sin (pi/2))`

`LHL = (-1 + 1)`

`LHL = 0`

अब `RHL`, इस स्थिति में, `xgtpi/2` `:.f(x) = cosx`

`RHL = lim_(xto(pi/2)^(+))f(x)`

`RHL = lim_(xto(pi/2)^(+))(cosx)`

`RHL =cos(pi/2)`

`RHL = 0`

अब `x = pi/2` पर `f(x) = cosx`

`f(pi/2) = cos(pi/2) = 0` स्पष्ट हैं की, `LHL= RHL = f(pi/2)` हैं|

अतः `x = pi/2` पर फलन संतत होगा|

अवकलनीयता की जांच

फलन का एक बार अवकलन करने पर,

`f'(x)= {:{(1,-oo lt x lt 0),(cos x,0 le x lt (pi)/(2)),(-sin x,(pi)/(2) le x lt oo):}`

`x = 0` पर अवकलनीयता की जांच

LHD इस स्थिति में , `x lt 0`, `:.f'(x) = 1`

`LHD = lim_(xto0^(-))f(x)`

`LHD = lim_(xto0^(-))(1)`

`LHD = 1`

अब `RHD`, इस स्थिति में `xgt0` `:. f'(x) = (cos x)`

`RHD = lim_(xto0^(+))f(x)`

`RHD = lim_(xto0^(+)) cosx `

`RHD = 1`

स्पष्ट हैं की, `LHD= RHD = 1` हैं|

अतः `x = 0` पर फलन अवकलनीय हैं|

`x = pi/2` पर अवकलनीयता की जांच

`LHD = lim_(xto(pi/2)^(-))f(x)`

`LHD = lim_(xto(pi/2)^(-))cosx`

`LHD =cos (pi/2)`

`LHD = 0`

अब `RHD`, इस स्थिति में,

`RHD = lim_(xto(pi/2)^(+))f(x)`

`RHD = lim_(xto(pi/2)^(+)) -sin(x)`

`RHD = -sin(pi/2)`

`RHD = -1`

अतः स्पष्ट हैं की, `LHD ne RHD` हैं|
इसलिए `x = pi/2` पर फलन अवकलनीय नहीं है|