माना `f(x)= {((1)/(|x|),|x| ge 1),(ax^(2)+b,|x| lt 1):}` सर्वत्र संतत तथा अवकलनीय फलन है, तो `a` तथा `b` क्रमश: होंगे :-

Options

A. `-(1)/(2), (3)/(2)`
B. `(1)/(2), -(3)/(2)`
C. `(1)/(2), (3)/(2)`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

A

Explanation

`f(x)= {((-1)/(x),x le -1),(ax^(2)+b,-1lt x lt 1), ((1)/(x),x ge 1):}`

चूंकि फलन प्रत्येक बिन्दु पर संतत है।
`LHL = RHL`

` x = - 1` पर
`LHL`
`=lim _(h-> 0) f(-1-h)`
`=lim _(h-> 0) -1 /(-1-h) =1`

` RHL`
`=lim _(h-> 0)f(-1+h)`
`=lim _(h-> 0)a(-1+h)^ 2 +b`
`=a+b`

`a + b = `1

फलन प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।

`LHD = RHD`

`LHD`

`=lim _(h-> 0)(f(-1-h)-f(-1))/( -h)`

`=lim _(h-> 0)(( -1)/(-1-h) - 1) /(-h)`

`=lim _(h-> 0)(-1+1+h) /(-h)(-1-h)`

`=lim _(h-> 0)(h) /(h(1+h))`

`=1`

` RHD`
`lim _(h-> 0) (f(-1+h)-f(-1) )/(+h) `

`lim _(h-> 0) (a(-1+h)^ 2 +b-1)/ h`

`lim _(h-> 0)(a(1+h^ 2 -2h)+b-1 )/h`

`lim _(h-> 0)(a+b-1+ah^ 2 -2ah )/h`

सीमा को परिभाषित होने के लिए `a +b -1=0 ` होगा

`lim _(h-> 0)(ah^ 2 -2ah )/h`

` =-2a `

चूंकि अवकलनीय है
`:. LHD=RHD`

` -2a= 1`
`a=-1/2`

`b= 3/ 2`