x के किन मानो के लिए फलन `f(x)= {((1-x)",",xlt 1),((1-x)(2-x)",",1 le x le 2),((3-x)",",x gt 2):}` संतत या अवकलनीय नहीं है।

Explanation

`x=1 ` पर अवकलनीयता

`Lf'(1)`

`=lim_(x rarr 1^(-)) (f(x)-f(1))/(x-1)`

`=lim_(x rarr 1^(-)) ((1-x)-0)/(x-1)`

`=- lim_(x rarr 1^(-)) (x-1)/(x-1)`

` =-1`

इसी प्रकार,

`Rf'(1)`

`=lim_(x rarr 1^(+)) (f(x)-f(1))/(x-1) `

`=lim_(x rarr 1^(+)) ((1-x)(2-x)-0)/(x-1)`

`=lim_(x rarr 1^(+)) ((x-1)(x-2))/(x-1)`

`=lim_(x rarr 1^(+)) (x-2)=1-2=-1`

`implies Rf'(1)=Lf'(1)`

`implies` फलन `f(x)` बिंदु `x=1` पर अवकलनीय है। अतः `x=1` पर संतत भी होगा

`x=2 ` पर अवकलनीयता
`Lf'(2)`

`=lim_(x rarr 2^(-)) (f(x)-f(2))/(x-2)`

`=lim_(x rarr 2^(-)) ((1-x)(2-x)-0)/(x-2)`

`=- lim_(x rarr 2^(-)) (1-x)(x-2)/(x-2)`

`=-(1-2) =1`

इसी प्रकार,

`Rf'(2)`
`=lim_(x rarr 2^(+)) (f(x)-f(2))/(x-2) `

`=lim_(x rarr 2^(+)) ((3-x)-0)/(x-2)`

`=lim_(x rarr 2^(+)) ((3-x))/(x-2)`
`=`अपरिमित

`implies` फलन `f(x)` बिंदु `x=2` पर अवकलनीय नहीं है।

`x = 2` पर संतता की जाँच
`LHL`
`=lim_ (x ->2^-) f(x)`

`=lim_ (x ->2^-)(1-x)(2-x)`

`=lim_ (h ->o)[1-(2-h))(2-(2-h)]`

`= 0`

`RHL`
`=lim_ (x ->2^+)f(x)`

`=lim_ (x ->2^+) (3-x)`

`=lim_ (h ->o)(3-(2+h))=1`

` LHL ne RHL`
`x = 2` पर संतत नहीं है।