यदि `f(x)= {(x-3,x lt 0),(x^(2)-3x+2,x ge 0):}` है, तो `g(x) = (f(|x|) + |f(x)|)` की अवकलनीयता ज्ञात कीजिये।

Explanation

दिया हैं,

`f(x)= {(x-3,x lt 0),(x^(2)-3x+2,x ge 0):}`

चूँकि `x = |x|` रखने पर

अतः

`f|x| = {(|x|-3,|x| lt 0),(|x|^(2)-3|x|+2,|x| ge 0):}`

चूँकि `|x| lt 0` संभव नहीं हैं क्योंकि `|x| ` , `0` से छोटा नहीं हो सकता|

`f|x| = |x|^(2)-3|x|+2 ; |x| ge 0`

यहाँ `|x| ge 0` हैं

इसलिए

`f|x|= {(x^2-3(-x) + 2,x lt 0),(x^(2)-3x+2,x ge 0):}`

`implies f|x|= {(x^2+3x + 2,x lt 0),(x^(2)-3x+2,x ge 0):}` .................................समीकरण (i)

अब `|f(x)| = {(|x-3|,x lt 0),(|x^(2)-3x+2|,x ge 0):}`

`x^(2)-3x+2= 0` द्विघात समीकरण हैं इसका मूल `1` और `2` हैं अतः `1` से `2` के बीच में इसका मान ऋणात्मक होगा|

अतः

`|f(x)|`` = {(3-x,x lt 0),(x^(2)-3x+2,0 le x lt 1),(-(x^(2)-3x+2),1 le x lt 2),(x^(2)-3x+2,x ge 2):}` .........................समीकरण (ii)

चूँकि `g(x) = (f(|x|) + |f(x)|)`

समीकरण (i) व समीकरण (ii) को जोड़ने पर,

`g(x) =` `{(x^2+3x + 2,x lt 0),(x^(2)-3x+2,x ge 0):}` + ` {(3-x,x lt 0),(x^(2)-3x+2,0 le x lt 1),(-(x^(2)-3x+2),1 le x lt 2),(x^(2)-3x+2,x ge 2):}`

`g(x) = {(2x^(2)+2x+5,x lt 0),(2x^(2)-6x+4,0 le x lt 1),(0,1 le x lt 2),(2x^(2)-6x+4,x ge 2):}`

`g(x), x = 0` पर संतत नहीं हैं|

अतः `g(x) = x in R - {0)` पर संतत हैं|

अवकलन करने पर,

`g'(x) = {(4x+2,x lt 0),(4x-6,0 lt x lt 1),(0,1 lt x lt 2),(4x-6,x gt 2):}`

अवकलनीयता के लिए,

`x = 0, 1, 2` पर अवकलनीय नहीं हैं|

`g(x) = x in R - {0,1, 2}` पर अवकलनीय हैं|