यदि `f(x)= {(e^(-|x|)",",-5 lt x lt 0),(-e^(-|x-1|) + e^(-1) + 1",",0le x lt 2),(e^(-|x-2|)",",2 le x lt 4):}` अंतराल `(-5, 4)` में `f(x)` की संतता और अवकलनीयता की जाँच कीजिये।

Explanation

हम जानते हैं कि, `|x-1| =` `{(x-1 ,x ge 1),(-x+1,x lt 1):}`

अतः



अतः `0, 1, 2` पर संतता की जांच करनी है।

`x = 0` पर,

`LHL = lim_(x rarr 0)e^(x)`

` = e^(0)`

`LHL = 1`

`RHL`

` = lim_(x rarr 0) -e^(x-1)+(1/e) + 1`

`RHL = -e^(0-1)+(1/e) + 1`

`RHL = -e^(-1)+(1/e) + 1`

`RHL = -1/e+1/e + 1`` = 1 `

तथा `f(0) = -e^(-1)+(1/e) + 1`

` =1`

स्पष्ट है कि,

`LHL = RHL = f(x) = 1`

अतः `x = 0` पर संतत हैं|

इसी प्रकार `x = 1` पर,

`LHL`

` =lim_(x rarr 1) -e^(x-1)+(1/e) + 1`

`LHL = -e^(1-1)+(1/e) + 1`

`LHL = -e^(0)+(1/e) + 1`

`LHL = -1+ 1/e + 1 = 1/e`

`RHL`

` =lim_(x rarr 1) -e^(-x+1)+(1/e) + 1`

`RHL = -e^(-1+1)+(1/e) + 1`

`RHL = -1+ 1/e + 1 = 1/e`

तथा `f (1) = 1/e`

स्पष्ट है कि,

`LHL = RHL = f(x) = 1/e`

अतः `x = 1` पर संतत हैं|

इसी प्रकार,

`x = 2` पर,

`LHL`

` =lim_(x rarr 2) -e^(-x+1)+(1/e) + 1`

`LHL = -e^(-2+1)+(1/e) + 1`

`LHL= -1/e+(1/e) + 1`

`LHL= 1`

`RHL `

`=lim_(x rarr 2) -e^(-x+2)`

`RHL = -e^(-2+2) = 1`

`RHL = -e^(0) = 1`

`RHL = 1`

तथा `f(2) = 1`

स्पष्ट हैं की,

`LHL = RHL = f(x)`

अतः `x = 2` पर संतत हैं|

इसलिए f(x) संतत हैं, `x = 0, 1, 2`

अवकलनीयता की जाँच,

चूंकि फलन हर जगह संतत हैं अतः फलन का हम सीधा अवकलन कर सकते हैं|




`x=0` पर अवकलनीयता की जाँच,

`LHD=lim_(x rarr 0) e^(x)`

`LHD = e^(0)= 1`

`RHD = lim_(x rarr 0)-e^(x-1)`

`RHD = -e^(0-1)`

`RHD = -e^(-1)= -1/e`

स्पष्ट हैं की,

`LHD ne RHD` अतः `x=0` पर, अवकलनीय नहीं हैं|

इसी प्रकार `x=1` पर

`LHD =lim_(x rarr 1) -e^(x-1)`

`LHD = -e^(1-1)`

`LHD = -e^(0) = -1`

`RHD =lim_(x rarr 1) e^(-x+1) `

`RHD = e^(-1+1) `

`RHD = e^(0) = 1`

स्पष्ट है कि,

`LHD ne RHD` अतः `x=1` पर, अवकलनीय नहीं हैं|

इसी प्रकार `x=2` पर,

`LHD = lim_(x rarr 2)e^(-x+1)`

`LHD = e^(-2+1)`= 1/e

`RHD = lim_(x rarr 2)-e^(-x+2)`

`RHD = -e^(-2+1) = -1/e`

स्पष्ट है कि,

`LHD ne RHD` अतः `x=2` पर, अवकलनीय नहीं हैं|

अतः `0, 1, 2` पर संतत हैं परंतु अवकलनीय नहीं हैं|