माना `f(x + y) = f(x) + f(y)-2xy-1` सभी x और y के लिए है। यदि `f'(0)= - sin alpha`, तब `f{f'(0)}` का क्या मान होगा ?

Explanation

`f'(x) = lim _(h->0 )(f(x +h)-f(x))/ h`

`= lim _(h->0 )({f(x) + f(h)-2xh -1}-f(x) )/h`

`=lim _(h->0 )-2x + lim _(h->0 )( f(h)-1 )/h`

`= -2x + lim _(h->0 )( f(h)-f(0) )/h`

(दिये हुए सम्बन्ध से)
[सम्बन्ध में x = 0 = y रखने पर` f(0) = f(0) + f(0) + 0 –n `

`⇒ f(0) = 1]`

`f(x) = -2x + f(0) = -2x - sinalpha`
समाकलन करने पर
`f(x) = -x² - (sinalpha). x + c`

`f(0) = -0-0 + c`

` ⇒ c = 1`

` f(x) = -x² - (sinalpha). x + 1`

` f{f(0)} = f(-sinalpha) `
`= -sinalpha + sin³alpha + 1`

` f{f(0)} = 1.`