फलन y= f(x) जिसका प्राचलिक समीकरण `x=2t- |t-1|` तथा `y= 2t^(2)+ t|t|` हो, तो उसकी संतता व अवकनीयता की जाँच कीजिये।

Explanation

दिया है,

यहाँ `x =2t - |t - 1|` तथा ` = 2t^(2)+ t|t|`

जब `t lt 0`

`x = 2t- {-(t-1)} = 3t - 1` तथा `y = 2t^(2) - t^(2) = t^(2)`

`y = 1/9(x+1)^(2)`

जब `0 le t lt 1`

`x = 2t- {-(t-1)} = 3t - 1` तथा `y = 2t^(2) + t^(2) = 3t^(2)`

`y = 1/3(x+1)^(2)`

जब `t ge 1`

`x = 2t- {-(t-1)} = t + 1` तथा `y = 2t^(2) + t^(2) = 3t^(2)`

`y = 3(x-1)^(2)`

`y = f(x)= {:{(1/9(x+1)^(2), x lt -1),(1/3(x+1)^(2),-1 le x lt 2),(3(x-1)^(2),x ge2 ):}`

`x = -1` पर अवकलनीयता की जांच,

`LHD = f(-1^-) =lim_(hto0)(f(-1-h)-f(-1))/-h` `= lim_(hto0)1/9((-1-h+1)^(2)-0)/-h = 0`

`RHD = f(-1^+) =lim_(hto0)(f(-1+h)-f(-1))/-h` `= lim_(hto0)1/3((-1+h+1)^(2)-0)/-h= 0`

`x = -1` पर `f(x) ` अवकलनीय हैं| `implies``x = -1 `पर संतत हैं|

`x = 2` पर अवकलनीयता की जांच,

`LHD = f(-2^-) = lim_(hto0)1/3((2-h+1)^(2)-3)/-h` = 2 तथा `RHD =f(-2^+)= lim_(hto0)3((2+h-1)^(2)-3)/-h` `= 6`

`x = 2` पर `f(x)` अवकलनीय नहीं हैं क्योंकि `LHD ne RHD` परंतु `x = 2 ` पर संतत हैं|

क्योंकि बायाँ अवकलज व दायाँ अवकलज परिममित हैं|